через параметры меры
σ
:
1
Z
0
|
ϕ
(
x
)
−
C
|
2
d
σ
(
x
) =
m
1
(
1
−
m
1
)+ (
1
−
2
m
1
)
1
Z
0
xp
(
x
)
dx
−
−
2
1
Z
0
xp
(
x
)
1
Z
x
p
(
y
)
dy dx
=
m
1
(
1
−
m
1
)+ (
1
−
2
m
1
)
N
∑
k
=
1
2
k
−
1
2
N
2
p
k
−
−
N
∑
k
=
1
2
k
−
1
N
3
p
k
N
∑
j
=
k
+
1
p
j
−
N
∑
k
=
1
3
k
−
2
3
N
3
p
2
k
.
Обозначив
F
0
(
m
0
,
m
1
,
p
1
, . . . ,
p
N
)
правую часть последнего равенства
,
получаем задачу на условный экстремум функции
N
+
2
переменных
:
F
0
(
m
0
,
m
1
,
p
1
, . . . ,
p
N
)
−
n
∑
k
=
1
λ
k
(
m
0
,
m
1
,
p
1
, . . . ,
p
N
)
→
max
при выполнении условия
(22).
Необходимые условия экстремума образуют нелинейную систему
алгебраических уравнений
,
для решения которой предлагается исполь
-
зовать метод Ньютона
,
приняв в качестве начального приближения рав
-
номерную меру
:
m
0
=
m
1
=
0,
p
k
=
1,
k
=
1
, . . . ,
N
,
и нулевое зна
-
чение множителя Лагранжа
.
Для вычисления матрицы Якоби приме
-
няется численное дифференцирование
.
Матрица пересчитывается на
каждой итерации
.
Условием завершения итерационного процесса явля
-
ется достижение нормой невязки заданного порога малости
.
По завершении итераций имеем максимальное значение нижней ин
-
тегральной оценки для поперечника
d
n
(
W
,
H
)
(
это значение
,
зависящее
от размерности сетки
N
,
обозначим
L
n
(
N
)
)
и соответствующие сооб
-
ственные значения оператора
T
σ
.
Восстановив собственные функции
оператора
(
необходимые для этого соотношения были указаны выше
),
находим верхнюю оценку поперечника
:
U
n
(
N
) =
max
k
=
0
,...,
N
µ ¯ ¯ ¯
ϕ
³
k
N
´
−
C
¯ ¯ ¯
2
−
n
∑
j
=
1
λ
j
f
2
j
³
k
N
´ ¶
.
Любая точка из отрезка
[
L
n
(
N
)
,
U
n
(
N
)]
является приближенным
значением поперечника
d
n
(
W
,
H
)
с относительной погрешностью
,
не
превосходящей
δ
=
³
U
n
(
N
)
−
L
n
(
N
)
´.
L
n
(
N
)
.
Чтобы уменьшить по
-
лученное значение
δ
,
параметр
N
увеличивается и оптимизационная
процедура повторяется
.
Этим действием завершается алгоритм при
-
ближенного вычисления поперечников
d
n
(
W
,
H
)
.
ISSN 0236-3933.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. "
Естественные науки
". 2003.
№
2 83
