При решении задачи совмещения интегральных оценок следует
определить
,
в каком классе функций следует искать меру
σ
,
обла
-
дающую необходимым свойством
.
Для примера рассмотрим зада
-
чу совмещения интегральных оценок поперечника
d
0
(
W
,
H
)
.
Прове
-
рим
,
что в классе мер
,
подчиненных мере Лебега
,
обеспечить вы
-
полнение условия
(6)
невозможно
.
С другой стороны
,
точечная мера
σ
(
{
0
}
) =
σ
(
{
1
}
) =
1
/
2
обеспечивает выполнение условия
(6),
но не
является положительной мерой на отрезке
[
0
,
1
]
,
как того требует теоре
-
ма об интегральных неравенствах
.
Обобщить свойства рассмотренных
мер и найти величину
d
0
(
W
,
H
)
позволяет мера следующего вида
:
d
σ
(
x
) =
p
(
x
)
dx
,
x
∈
[
0
,
1
]
,
σ
(
{
0
}
) =
m
0
,
σ
(
{
1
}
) =
m
1
,
(
7
)
где
p
—
положительная функция
,
непрерывная на отрезке
[
0
,
1
]
,
m
0
,
m
1
>
0
и выполняется условие нормировки
m
0
+
m
1
+
1
Z
0
p
(
x
)
dx
=
1
.
Полагая
p
(
x
) =
ε
для всех
x
∈
[
0
,
1
]
и
m
0
=
m
1
=
1
−
ε
2
,
где
ε
∈
(
0
,
1
)
,
из
неравенств
(2)
имеем
r
1
4
−
ε
2
12
≤
d
0
(
W
,
H
)
≤
r
1
4
+
ε
2
12
,
откуда
d
0
(
W
,
H
) =
1
2
.
(
8
)
Исходя из разобранного примера
,
будем рассматривать меры вида
(7)
и определим
,
при каких условиях в данном классе мер возможно
совмещение интегральных оценок поперечника
d
n
(
W
,
H
)
,
n
≥
1.
Как бу
-
дет видно далее
,
решение этого вопроса приводит к следующей системе
уравнений для чисел
λ
k
и функции
f
k
:
λ
k
f
00
k
+
n
∑
j
=
1
λ
j
(
f
0
j
)
2
µ
1
+
n
∑
j
=
1
f
2
j
¶
−
1
f
k
=
0;
(9)
λ
k
f
0
k
(
0
) =
−
µ
2
+
2
n
∑
j
=
1
f
2
j
(
0
)
¶
−
1
f
k
(
0
)
;
(10)
λ
k
f
0
k
(
1
) =
µ
2
+
2
n
∑
j
=
1
f
2
j
(
1
)
¶
−
1
f
k
(
1
)
;
(11)
78 ISSN 0236-3933.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. "
Естественные науки
". 2003.
№
2
