Из теоремы очевидно следует слабая асимптотика поперечников
множества
ϕ
(
K
m
)
:
d
n
(
ϕ
(
K
m
)
,
H
)
³
n
−
1
2
m
.
Доказательство
. 1.
Воспользуемся левой частью неравенств
(2).
Процесс Леви осуществляет непрерывное отображение
K
m
в
H
,
следо
-
вательно
,
d
n
(
ϕ
(
K
m
)
,
H
)
≥
s
∞
∑
j
=
n
+
1
λ
j
,
n
≥
0
,
где
λ
1
≥
λ
2
≥
. . .
—
собственные значения оператора
T
σ
,
действующе
-
го на функции из
L
2
(
K
m
,
σ
)
,
ортогональные тождественной единице
,
согласно формуле
(
T
σ
f
)(
x
) =
Z
K
m
(
ϕ
(
x
)
,
ϕ
(
y
))
f
(
y
)
d
σ
(
y
)
−
Z
K
m
(
C
,
ϕ
(
y
))
f
(
y
)
d
σ
(
y
)
,
x
∈
K
m
.
В качестве
σ
возьмем равномерную на
K
m
меру
:
d
σ
(
x
) =
dx
.
Тогда
,
применяя равенство
(1),
получаем
,
что
T
σ
=
P
+
T
1
,
где
P
—
проектор
на линейную оболочку функций
1
,
и
f
(
x
) =
|
x
|
,
x
∈
K
m
,
а действие опе
-
ратора
T
1
на функции
f
∈
L
2
(
K
m
)
определяется формулой
(
T
1
f
)(
x
) =
−
1
2
Z
K
m
|
x
−
y
|
f
(
y
)
dy
,
x
∈
K
m
.
Через
N
(
s
,
T
σ
)
и
N
(
s
,
T
1
)
обозначим функции распределения соб
-
ственных значений операторов
T
σ
и
T
1
соответственно
:
N
(
s
,
T
σ
) =
∑
λ
n
>
s
1
,
N
(
s
,
T
1
) =
∑
λ
n
(
T
1
)
>
s
1
,
s
>
0
.
Из работ
[5, 6]
известно
,
что
s
q
N
(
s
,
T
1
)
→
γ
m
2
−
q
при
s
→
0,
где
γ
m
=
µ
1
2
π
Γ
³
m
2
+
1
2
´ ¶
q
µ
Γ
³
m
2
+
1
´ ¶
−
1
,
q
=
m
m
+
1
.
(
4
)
Поскольку операторы
T
σ
и
T
1
совпадают с точностью до проек
-
тора на конечномерное подпространство
,
то
(
см
.
работу
[5])
преде
-
лы функций
s
q
N
(
s
,
T
σ
)
и
s
q
N
(
s
,
T
1
)
при
s
→
0
равны
.
Таким образом
,
s
q
N
(
s
,
T
σ
) =
γ
m
2
−
q
(
1
+
o
(
1
))
при
s
→
0.
Поскольку
T
σ
—
компактный самосопряженный оператор и
λ
k
→
0
при
k
→
∞
,
полагая в последнем равенстве
s
=
λ
k
,
получаем
λ
k
=
(
γ
m
)
1
/
q
2
(
k
−
1
)
1
/
q
(
1
+
o
(
1
))
,
k
→
∞
.
ISSN 0236-3933.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. "
Естественные науки
". 2003.
№
2 75
