имеем
e
θ
(
x
0
,
λ
) =
θ
(
x
0
,
λ
)
.
Следовательно
,
в силу теоремы сравнения
получим
θ
(
x
,
λ
)
−
θ
(
x
0
,
λ
)
≥
e
θ
(
x
,
λ
)
−
e
θ
(
x
0
,
λ
)
.
Соседние нули функции
e
f
отличаются на величину
π
/
√
λ
P
.
Эта ве
-
личина стремится к нулю при
λ
→
+
∞
и
,
следовательно
, sin
e
θ
=
0
для
произвольно большого числа точек из интервала
(
x
0
,
x
)
.
Поскольку при
этом
e
θ
0
=
1,
правая часть последнего неравенства стремится к беско
-
нечности
.
Значит
,
то же самое выполняется и для левой части этого не
-
равенства
.
Свойство
(31)
доказано
.
Для доказательства свойства
(32)
заметим
,
что
f
(
x
,
0
) =
−
1
для всех
x
∈
[
a
,
b
]
.
Кроме того
,
θ
(
a
,
λ
)
→ −
π
/
2
при
λ
→
0.
Тогда
θ
(
x
,
0
) =
−
π
/
2
для любого
x
∈
(
a
,
b
]
,
и свойство
(32)
следует из непрерывности функ
-
ции
θ
по переменной
λ
.
Далее применим свойства
(31)
и
(32),
положив
x
=
b
.
Тогда при
λ
→
0
имеем
θ
(
b
,
λ
)
→ −
π
/
2.
Функция
1
/
(
λ
m
1
)
монотонно убывает
,
а функция
θ
(
b
,
λ
)
монотонно возрастает по переменной
λ
,
поэтому
существует значение
λ
=
λ
1
>
0,
для которого выполняется равенство
(30),
причем
θ
(
b
,
λ
1
) =
arctg
(
1
/
(
λ
1
m
1
))
.
Поскольку
θ
(
a
,
λ
1
)
∈
(
−
π
/
2
,
0
)
и
θ
(
b
,
λ
1
)
∈
(
0
,
π
/
2
)
,
то в одной из точек интервала
(
a
,
b
)
функция
θ
(
x
,
λ
1
)
обращается в нуль
,
а во всех остальных точках значения функ
-
ции отличны от
π
k
для любого
k
∈
Z
.
Следовательно
,
соответствующая
собственная функция
f
(
x
,
λ
1
)
имеет один нуль в интервале
(
a
,
b
)
.
Собственное значение с номером
n
определяется равенством
θ
(
b
,
λ
n
) =
arctg
1
λ
n
m
1
+
π
(
n
−
1
)
,
n
≥
1
,
и соответствующая собственная функция
f
(
x
,
λ
n
)
имеет ровно
n
нулей
в интервале
(
a
,
b
)
.
Лемма доказана
.
Приложение
2
.
Для мер
σ
,
доставляющих максимум нижней инте
-
гральной оценки поперечников
d
n
(
W
,
H
)
,
на рисунке приведены графи
-
ки весовой функции
p
и первых
n
собственных функций
f
1
, . . . ,
f
n
опе
-
ратора
T
σ
,
n
=
1
,
2
,
3.
Алгоритм поиска оптимальной меры
σ
реализован
при следующих значениях параметров
:
шаг численного дифференци
-
рования
10
−
4
,
пороговое значение нормы невязки
10
−
6
,
δ
=
5
·
10
−
5
,
N
=
40,
∆
1
=
5
·
10
−
2
при
n
=
1
и
∆
1
=
5
·
10
−
3
при
n
=
2
,
3.
В заключение автор благодарит Р
.
С
.
Исмагилова за помощь в подго
-
товке настоящей работы
.
ISSN 0236-3933.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. "
Естественные науки
". 2003.
№
2 87
