заданных для функции
f
(
x
,
λ
)
,
следует
,
что функции
ρ
(
x
,
λ
)
и
θ
(
x
,
λ
)
являются решениями уравнений
ρ
0
= (
1
−
λ
p
)
ρ
sin
θ
cos
θ
,
θ
0
=
cos
2
θ
+
λ
p
sin
2
θ
,
(28)
удовлетворяющими граничным условиям
ρ
(
a
,
λ
)
sin
θ
(
a
,
λ
) =
−
1,
ρ
(
a
,
λ
)
cos
θ
(
a
,
λ
) =
λ
m
0
.
Очевидно
,
что при
λ
>
0
функцию
θ
можно
выбрать так
,
чтобы выполнялось равенство
θ
(
a
,
λ
) =
−
arctg
1
λ
m
0
.
(
29
)
Поскольку функция
f
(
x
,
λ
)
вместе со своей производной на отрезке
[
a
,
b
]
в нуль не обращается
,
функция
ρ
2
=
f
2
+ (
f
0
)
2
положительна на
[
a
,
b
]
.
Следовательно
,
нули функции
f
(
x
,
λ
)
определяются равенством
θ
(
x
,
λ
) =
π
k
,
k
∈
Z
,
а краевое условие
(27)
п
p
ив
o
дит к следующему
уравнению на положительные собственные значения задачи
(25)–(27):
tg
θ
(
b
,
λ
) =
1
λ
m
1
,
λ
>
0
.
(
30
)
Изучим свойства функции
θ
(
x
,
λ
)
.
Во
-
первых
,
в силу теоремы срав
-
нения
θ
(
x
,
λ
)
является монотонно возрастающей функцией от
λ
при
любом фиксированном
x
∈
(
a
,
b
]
.
Во
-
вторых
,
при любом фиксирован
-
ном
k
=
Z
выполнение равенства
θ
(
x
,
λ
) =
π
k
возможно в силу урав
-
нения
(28)
не более чем в одной точке
x
∈
(
a
,
b
]
.
В
-
третьих
,
для произ
-
вольного
x
∈
(
a
,
b
]
выполняется
θ
(
x
,
λ
)
→
+
∞
при
λ
→
+
∞
,
(31)
θ
(
x
,
λ
)
→ −
π
2
при
λ
→
0
.
(32)
Докажем свойство
(31).
Поскольку
θ
(
a
,
λ
)
→
0
и
θ
0
(
a
,
λ
)
→
1
при
λ
→
+
∞
,
то существует точка
x
0
∈
(
a
,
b
)
такая
,
что
θ
(
x
0
,
λ
)
>
0
начиная
с некоторого
λ
.
Достаточно доказать
,
что
θ
(
x
,
λ
)
−
θ
(
x
0
,
λ
)
→
+
∞
при
λ
→
+
∞
.
Функция
p
положительна и непрерывна
(
кусочно непрерывна
)
на
отрезке
[
a
,
b
]
,
поэтому существует постоянная
P
такая
,
что
p
(
x
)
≥
P
>
0
на отрезке
[
x
0
,
x
]
.
Для решения
e
f
задачи Коши
e
f
00
+
λ
P
e
f
=
0
,
e
f
(
x
0
,
λ
) =
f
(
x
0
,
λ
)
,
e
f
0
(
x
0
,
λ
) =
f
0
(
x
0
,
λ
)
86 ISSN 0236-3933.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. "
Естественные науки
". 2003.
№
2
