f
(
b
)
cos
β
−
f
0
(
b
)
sin
β
=
0
,
α
,
β
∈
[
0
,
π
)
.
В частности
,
воспользуемся следующим утверждением из работы
[7].
Пусть
p
1
,
p
2
—
абсолютно непрерывные
,
а
p
0
1
,
p
0
2
,
g
1
,
g
2
—
кусочно
непрерывные на отрезке
[
a
,
b
]
функции
,
выполняются неравенства
0
<
p
2
(
x
)
≤
p
1
(
x
)
,
g
2
(
x
)
≥
g
1
(
x
)
,
x
∈
[
a
,
b
]
,
и
f
i
,
i
=
1
,
2, —
нетривиальные решения уравнений
(
p
i
f
0
i
)
0
+
g
i
f
i
=
0
,
i
=
1
,
2
.
Представим функции
f
i
и
f
0
i
в виде
f
i
(
x
) =
ρ
i
(
x
)
sin
θ
i
(
x
)
,
f
0
i
(
x
) =
ρ
i
cos
θ
i
(
x
)
,
x
∈
[
a
,
b
]
,
i
=
1
,
2
.
Тогда из
θ
2
(
a
)
≥
θ
1
(
a
)
следует
θ
2
(
x
)
≥
θ
1
(
x
)
,
x
∈
[
a
,
b
]
.
Если
,
кроме того
,
g
2
>
g
1
на
(
a
,
b
)
,
то
θ
2
(
x
)
>
θ
1
(
x
)
для всех
x
∈
(
a
,
b
]
.
Согласно работе
[7]
данное утверждение называется теоремой срав
-
нения
.
Доказательство
.
Очевидно
,
что
λ
0
=
0 —
собственное значение
задачи
(25)–(27).
Соответствующая собственная функция пропорцио
-
нальна
1
и в нуль на
(
a
,
b
)
не обращается
.
Пусть пара
(
λ
,
f
)
—
одно
из решений задачи
(25)–(27),
причем
λ
6
=
0
и
,
следовательно
,
функция
f
не равна тождественно константе на отрезке
[
a
,
b
]
.
Умножая на
f
и
интегрируя по отрезку
[
a
,
b
]
обе части уравнения
(25),
получаем
λ
µ
m
1
f
2
(
b
) +
m
0
f
2
(
a
) +
b
Z
a
p
(
x
)
f
2
(
x
)
dx
¶
=
b
Z
a
¡
f
0
(
x
)
¢
2
dx
.
Из этого равенства следует
,
что отличные от нуля собственные значения
задачи
(25)–(27)
положительны
.
Через
f
(
x
,
λ
)
обозначим решение уравнения
(25),
определяемое сле
-
дующими начальными условиями
:
f
(
a
,
λ
) =
−
1,
f
0
(
a
,
λ
) =
λ
m
0
(
здесь
и далее рассматриваются производные только по переменной
x
).
Яс
-
но
,
что функция
f
(
x
,
λ
)
удовлетворяет краевому условию
(26)
при лю
-
бом
λ
.
Представим функцию
f
(
x
,
λ
)
и ее производную в виде
f
=
ρ
sin
θ
,
f
0
=
ρ
cos
θ
.
Отсюда
,
а также из уравнения
(25)
и начальных условий
,
ISSN 0236-3933.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. "
Естественные науки
". 2003.
№
2 85
