В заключение приведены результаты вычислительного эксперимен
-
та по оцениванию с использованием предлагаемой формулы параметра
существенно нелинейной регрессии
,
Для сравнения было проведено
оценивание с помощью программы
,
реализующей регрессионный ана
-
лиз в системе
Maple,
а также программы
,
реализующей общий метод
наименьших квадратов
.
Постановка задачи
.
Пусть имеются
n
пар наблюдений
(
x
i
, y
i
)
,
i
= 1
, n
,
значений функции отклика
y
i
,
полученных при соответству
-
ющих значениях объясняющей переменной
(
предиктора
,
фактора
)
x
i
.
Будем называть эти значения исходными данными
.
Пусть существует
зависимость
Y
=
r
(
X, θ
)
∈
Υ
⊆
R
;
(1)
здесь
X
∈ ℵ ⊆
R
—
независимая переменная
;
r
(
·
,
·
)
—
функция ре
-
грессии известного вида
,
определенная с точностью до подлежащего
оценке регрессионного коэффициента
θ
∈
Θ
⊆
R
.
Объясняющая пе
-
ременная
x
и отклик
y
—
это независимая переменная
X
и зависимая
переменная
Y
с учетом погрешностей
δ
и
ε
:
x
=
X
+
δ, y
=
Y
+
ε,
(2)
где
δ
и
ε
—
случайные величины с начальными моментами
Eε
= 0
,
Eδ
= 0
,
Eε
2
:=
σ
2
1
,
Eδ
2
:=
σ
2
2
.
По имеющимся независимым наблю
-
дениям
(
x
i
, y
i
)
,
i
= 1
, n
,
необходимо найти оценку
˜
θ
регрессионного
коэффициента
θ
.
Минимально контрастная регрессия
.
В условиях поставленной
задачи минимально контрастная оценка
˜
θ
регрессионного коэффици
-
ента
θ
минимизирует следующую сумму
:
min
θ
X
i
ρ
(
x
i
, y
i
, θ
) =
X
i
ρ
(
x
i
, y
i
,
˜
θ
)
.
Далее будем называть эту сумму минимизируемым функционалом
,
Непрерывную и дифференцируемую почти везде функцию минимума
контраста
ρ
(
x
i
, y
i
, θ
)
при
θ
= ˜
θ
запишем в виде
ρ
¡
x
i
, y
i
,
˜
θ
¢
=
ρ
(˜
ε
i
)
,
где
˜
ε
i
=
y
i
−
r
¡
x
i
,
˜
θ
¢
.
Действительно
,
на основании зависимости
(1)
имеем
Y
i
≈
r
¡
x
i
,
˜
θ
¢
,
а на основании выражений
(2)
имеем
ε
i
=
y
i
−
Y
i
.
Тогда
ε
i
≈
˜
ε
=
y
i
−
r
¡
x
i
,
˜
θ
¢
.
В оценочном уравнении
X
i
ψ
¡
x
i
, y
i
,
˜
θ
¢
= 0
12
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2004.
№
4
