Формула оценивания регрессионного коэффициента нелинейной парной регрессии с использованием весовой функции - page 8

θ — истинное значение параметра θ , которое в вычислительном экспе-
рименте является заданной величиной, а θ k — оценка параметра θ по -
сле k -й итерации, полученная по формуле (5). Подобранное значение
параметра λ весовой функции СОМ соответствовало лучшим резуль-
татам оценивания, при этом весовая функция строилась на основании
функции минимума контраста ρ(ε i) = − e− λ( εi)2/ 2σ2
2 [2] как оптималь-
ной минимаксной оценки для полиномиальной регрессии.
Условием конца итерации являлось малое отличие значений оценок
параметра на соседних шагах итерации: | θk − θk −1 | 6 10− 5.
На рис. 3, 4 продемонстрированы отдельные результаты оценива -
ния. Из этих рисунков видно, что результатом процесса итерации не
является лучшая оценка. Для того, чтобы лучшая оценка была достиг -
нута с использованием данного алгоритма, необходимо изменить усло -
вие конца итерации.
Условие конца итерации , приводящее к оптимальной для дан -
ного алгоритма оценке. Из рис. 4 видно , что существует связь между
точностью оценки и значениями минимизируемого функционала. Вы-
бор оптимальной для данного алгоритма оценки необходимо связать
с анализом поведения минимизируемого функционала на всех шагах
итерации. Начало неубывания для функционала является началом или
близко к началу увеличения отклонения оценки от истинного значения.
Алгоритм был откорректирован следующим образом . Признаком
конца итерационного процесса выбрано начало неубывания миними-
зируемого функционала или достаточное приближение его к нулю. При
этом каждому функционалу соответствовал свой нуль — отброшенная
после разложения в ряд оценочной функции в оценочном уравнении
(4) бесконечно малая величина
Xi
o¡ ∆i ¡ ˜
θ ¢¢ξ (˜ε i) ,
где o¡ ∆i¡ ˜
θ ¢¢ — остаточный член разложения регрессии по формуле
Тейлора в форме Пеано, выраженный в форме Коши .
На рис. 5 приведены графики зависимостей относительной погреш-
ности оценивания регрессионного коэффициента θ от номера итерации
с использованием откорректированного алгоритма.
Сравнение результатов оценивания, полученных согласно фор -
муле (5), с использованием программы fit и методом наименьших
квадратов. В системе Maple 7 регрессионный анализ реализует про -
грамма fit пакета StatGraphics. Эта программа осуществляет приближе -
ние регрессий, в том числе нелинейных. Однако класс аппроксимиру-
емых программой функций ограничен функциями, линейными по па -
18 ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2004. № 4