Формула оценивания регрессионного коэффициента нелинейной парной регрессии с использованием весовой функции - page 5

◦
¯
θ := n−1
n Xi=1
◦
θ i
— среднее значение ряда ◦
θ ,
σ2
3 := n−1
n Xi=1 µ ◦
θ i − ◦
¯
θ ¶2
— дисперсия этого ряда.
Запишем с помощью весовой функции оценочное уравнение
Xi
ψ(˜ε i) = Xi
˜ ε iψ(˜εi)
˜ ε i
= Xi
˜ ε iξ (˜ε i) = 0. (3)
Выразим ˜εi через θ − ◦
θ i , разложив функцию r (xi, θ ) в ряд Тейлора
в окрестности точки ◦
θi ∈ Θ с точностью до бесконечно малой вели -
чины o(∆i (θ )), где ∆i( θ) = θ − ◦
θ i . Предположим, что в окрестности
точки ¡ xi , ◦
θi ¢ ∈ ℵ× Θ производная r0
θ (xi, θ) = ∂r( xi , θ )/∂θ существует,
непрерывна и ограничена. Тогда
r (xi, θ) = r ³xi, ◦
θ i ´ + ∆ i( θ ) r 0
θ ( xi , θ)¯ ¯ ¯θ= ◦
θi
+ o(∆i (θ )),
r ³xi , ˜
θ ´ = r³xi, ◦
θi ´ + ∆i ³ ˜
θ ´ r0
θ (xi, θ) ¯ ¯ ¯θ= ◦
θi
+ o³ ∆i ³ ˜
θ ´´,
где ∆i ³ ˜
θ´ = ˜θ − ◦
θ i . Подставим r¡ xi , ˜
θ ¢ в формулу для ˜ ε i. В результате
получим
˜ ε i = yi − r ¡xi , ˜
θ¢ = r¡ xi , ◦
θ i¢ − r ¡xi, ˜
θ ¢ =
= − ∆i ¡ ˜
θ ¢r 0
θ ( xi, θ ) ¯ ¯ ¯θ= ◦
θi − o¡ ∆i¡ ˜
θ ¢¢.
Таким образом , оценочное уравнение (3) с точностью до бесконечно
малой величины Xi
o¡∆i¡ ˜
θ ¢¢ξ(˜εi ) примет следующий вид :
− Xi
∆i¡ ˜
θ ¢ r0
θ (xi, θ) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯θ= ◦
θi
ξ(˜εi ) = 0, (4)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2004. № 4 15