ϕ
(
M
) =
1
4
πε
0
Z
V
~P
(
M
0
)
∙
~R
(
M, M
0
)
R
3
(
M, M
0
)
dV
(
M
0
) =
=
1
4
πε
0
Z
V
~P
(
M
0
)
∙
grad
0
1
R
(
M, M
0
)
dV
(
M
0
) =
=
1
4
πε
0
Z
V
−
div
0
~P
(
M
0
)
R
(
M, M
0
)
+
div
0
~P
(
M
0
)
R
(
M, M
0
)
!!
dV
(
M
0
) =
=
1
4
πε
0
Z
V
−
div
0
~P
(
M
0
)
R
(
M, M
0
)
!
dV
(
M
0
)+
1
4
πε
0
I
S
~P
(
M
0
)
∙
~n
(
M
0
)
R
(
M, M
0
)
dS
(
M
0
)
,
(5)
где
M
0
— точка пространства, в которой расположен источник ска-
лярного потенциала;
~R
(
M, M
0
)
— вектор, проведенный из точки
M
0
в точку пространства
M
;
R
(
M, M
0
)
— расстояние между этими точ-
ками (штрихом помечены дифференциальные операции по координа-
там точки
M
0
);
~n
(
M
0
)
— единичный вектор внешней по отношению к
объему
V
нормали к элементу поверхности
dS
0
(
M
0
)
. В соотношени-
ях (5) использованы известное выражение для скалярного потенциала
электрического диполя, известные дифференциальные векторные то-
ждества и математическая теорема Гаусса–Остроградского. Сравнивая
окончательную форму соотношений (5) с зависимостью в вакууме для
потенциала электростатического поля, образованного электрически-
ми зарядами, распределенными по объему с объемной плотностью
ρ
(
x, y, z
)
и по поверхности
S
с поверхностной плотностью
σ
(
x, y, z
)
,
(
x, y, z
)
2
S
, выражению div
~P
можно приписать физический смысл
объемной плотности индуцированных (связанных) зарядов, взятой с
обратным знаком:
div
~P
=
−
ρ
0
,
(6)
а выражению
~P
∙
~n
=
P
n
— физический смысл поверхностной плот-
ности индуцированных (связанных) зарядов на внутренней стороне
рассматриваемой замкнутой поверхности
S
:
P
n
=
σ
0
in
.
(7)
Обратим внимание на то, что соотношение (7) получено для вну-
тренней стороны замкнутой поверхности
S
, проведенной в области
непрерывности диэлектрической среды. Общепринятое мнение, что
на такой поверхности не может находиться распределенный связан-
ный заряд, требует уточнения.
Пусть замкнутая поверхность
S
, ограничивающая объем
V
, пол-
ностью лежит внутри замкнутой поверхности
S
0
, а диэлектрическая
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 2
29
