восприимчивость
κ
в объеме
V
не отличается от диэлектрической вос-
приимчивости среды
κ
0
в объеме
V
0
, расположенном между рассма-
триваемыми поверхностями. В этом случае поверхность
S
является
внешней поверхностью относительно объема
V
, а поверхность
S
∪
S
0
— внешней по отношению к объему
V
0
. Записывая соотношения (5)
для объема
V
∪
V
0
в целом, получаем
4
πε
0
ϕ
(
M
) =
Z
V
∪
V
0
−
div
0
~P
(
M
0
)
R
(
M, M
0
)
!
dV
(
M
0
)+
+
I
S
0
~P
(
M
0
)
∙
~n
(
M
0
)
R
(
M, M
0
)
dS
0
(
M
0
)
.
(8)
Рассматривая объемы
V
и
V
0
по отдельности и суммируя результаты,
приходим к выражению
4
πε
0
ϕ
(
M
) =
Z
V
−
div
0
~P
(
M
0
)
R
(
M, M
0
)
!
dV
(
M
0
)+
+
Z
V
0
−
div
0
~P
(
M
0
)
R
(
M, M
0
)
!
dV
(
M
0
) +
I
S
~P
(
M
0
)
~n
(
M
0
)
R
(
M, M
0
)
dS
(
M
0
)+
+
I
S
∪
S
0
~P
(
M
0
)
∙
~n
(
M
0
)
R
(
M, M
0
)
dS
(
M
0
)
.
(9)
Видно, что интегралы по объемам
V
и
V
0
в полученном выражении
равны интегралу по совокупному объему
V
∪
V
0
предыдущего выра-
жения, а сумма поверхностных интегралов сводится к интегралу по
поверхности
S
0
, поскольку имеет место равенство
I
S
~P
(
M
0
)
∙
~n
(
M
0
)
R
(
M, M
0
)
dS
(
M
0
) +
I
S
~P
(
M
00
)
∙
~n
(
M
00
)
R
(
M, M
00
)
dS
(
M
00
) = 0
.
(10)
Здесь одним штрихом помечены величины, являющиеся предельными
при приближении к поверхности
S
из объема
V
, а двумя штриха-
ми — при приближении к той же самой поверхности
S
из объема
V
0
. В силу предположения о непрерывном характере векторного по-
ля
~P
(
M
)
в совокупной области изменения координат
(
x, y, z
)
име-
ем
~P
(
M
0
) =
~P
(
M
00
)
при совпадении точек
M
0
и
M
00
. Кроме того,
~n
(
M
0
) =
−
~n
(
M
00
)
, поскольку внешняя нормаль по отношению к объ-
ему
V
0
при совпадении точек
M
0
и
M
00
является, очевидно, внутренней
нормалью по отношению к объему
V
.
30
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 2
