МАТЕМАТИКА
УДК 519.21+531.19
СТАЦИОНАРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛЯ СТОХАСТИЧЕСКОЙ
СИСТЕМЫ ЧАСТИЦ, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ КОМПЛЕКСАМИ
А.В. Калинкин
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Российская Федерация
e-mail:
Рассмотрена стохастическая система из
n
частиц различных типов
T
1
, . . . , T
n
, взаимодействующих комплексами. Состояние системы описано как
n
-мерный вектор
α
= (
α
1
, . . . , α
n
)
из множества
N
n
векторов с целыми неот-
рицательными компонентами. Такой вектор интерпретирован как группа
S
α
,
состоящая из
α
1
частиц типа
T
1
,
. . . , α
n
частиц типа
T
n
. Приведены доста-
точные условия замкнутости класса состояний, достижимых из состояния
α
,
а также необходимые и достаточные условия конечности замкнутого класса
состояний. Получено выражение для стационарного распределения марковско-
го процесса в замкнутом классе и рассмотрены некоторые частные случаи —
биномиальное и пуассоновское распределение. Установлена связь найденного
стационарного распределения с микроканоническим и каноническим распреде-
лениями, известными в равновесной статистической физике.
Ключевые слова
:
марковский процесс, дискретные состояния, стационарное рас-
пределение, взаимодействие частиц.
STATIONARY DISTRIBUTION FOR A STOCHASTIC SYSTEM
OF COMPLEXES INTERACTING PARTICLES
A.V. Kalinkin
Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russian Federation
e-mail:
A stochastic system of particles of
n
different kinds
T
1
, . . . , T
n
interacting
as complexes is considered. A state of the system is a
n
-dimensional vector
α
= (
α
1
, . . . , α
n
)
of
N
n
vector set with nonnegative integer components. This
means that there is a group
S
α
consisting of
α
1
particles of the kind
T
1
, . . .
, and
α
n
particles of the kind
T
n
. Sufficient conditions are given for the closed class of
states which are achievable from a given state
α
. Necessary and sufficient conditions
are given for a finite closed class of states. A stationary distribution of the Markov
process for the closed class is derived and some particular cases — binomial and
Poisson distributions are considered. Relation of the found stationary distribution
and the microcanonical and canonical distributions has been established.
Keywords
:
Markov process, discrete states, stationary distribution, particle interaction.
Марковская модель системы взаимодействующих частиц.
На
множестве состояний
N
n
=
{
α
= (
α
1
, . . . , α
n
)
, α
i
= 0
,
1
,
2
, . . . , i
= 1
, . . . , n
}
рассмотрим однородный во времени марковский процесс [1]
ξ
(
t
) = (
ξ
1
(
t
)
, . . . , ξ
n
(
t
))
,
t
2
[0
,
∞
)
,
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 4
3
