Предельные вероятности не обязательно составляют распределение
вероятностей
X
β
2
N
n
q
αβ
6
1
. Введем производящую функцию предель-
ных вероятностей
f
α
(
s
) =
X
β
2
N
n
q
αβ
s
β
, α
2
N
n
.
Функция
f
α
(
s
)
является аналитической в области
|
s
|
<
1
. Функция
f
α
(
s
)
удовлетворяет стационарному второму уравнению Колмогоро-
ва, которое в случае рассматриваемого процесса
ξ
(
t
)
имеет вид [4]
(
|
s
|
6
1
)
l
X
i
=1
λ
i
(
h
i
(
s
)
−
s
ε
i
)
∂
ε
i
f
α
(
s
)
∂s
ε
i
= 0
.
(3)
Задача вычисления стационарного распределения вероятностей
для марковских процессов с дискретными состояниями хорошо из-
вестна и является одной из первых, рассмотренных в теории случай-
ных процессов [1]. В настоящей работе нахождение стационарного
распределения для марковского процесса сводится к определению ре-
шения линейного уравнения в частных производных (3). Такой способ
нахождения стационарных вероятностей, основанный на рассмотре-
нии стационарного второго уравнения для многомерной производящей
функции переходных вероятностей, применялся для марковских ветвя-
щихся процессов с несколькими типами частиц (теорема о предельном
стационарном распределении для докритического ветвящегося про-
цесса с иммиграцией [2]; теорема о предельном распределении в
финальном классе ветвящегося процесса [2] и других марковских
процессов на множестве
N
,
N
2
[4].
В леммах 1 и 2 исследованы классы достижимых состояний для
марковского процесса
ξ
(
t
)
: даны достаточные условия замкнутости
класса достижимых состояний, найдены необходимые и достаточные
условия конечности такого класса. В теореме 1 для производящей
функции стационарных вероятностей в замкнутом классе определено
явное представление в виде конечной суммы или ряда, содержащее
в качестве параметра решение вспомогательной алгебраической си-
стемы уравнений. Исследование алгебраической системы проведено в
лемме 3.
Полученное в теореме 1 решение стационарного второго уравне-
ния (3) обобщает полученные ранее выражения для стационарных
вероятностей марковских процессов. Это решение как частный слу-
чай содержит известные ранее стационарные распределения вероят-
ностей — биномиальное и пуассоновское распределение. Теорема 1
анонсирована в краткой заметке [11].
6
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 4
