Замкнутые классы сообщающихся состояний.
Проведем класси-
фикацию состояний марковского процесса
ξ
(
t
)
. Состояние
γ
называ-
ется достижимым из состояния
α
,
α
→
γ
, если существует
t
0
,
t
0
<
∞
,
такое, что
P
αγ
(
t
0
)
>
0
[1]. Состояния
α
и
γ
, для которых
α
→
γ
и
γ
→
α
, называются сообщающимися и обозначаются
α γ
. Здесь и
далее предположена неразложимость матрицы
P
= (
p
i
j
)
l
i,j
=1
.
Определение 1.
Матрица
A
= (
a
i
j
)
l
i,j
=1
называется разложимой,
если множество индексов
{
1
, . . . , l
}
можно разбить на два таких
непустых непересекающихся множества
S
1
,
S
2
, что
a
i
j
= 0
для всех
i
2
S
1
,
j
2
S
2
. Матрица
A
= (
a
i
j
)
l
i,j
=1
, не удовлетворяющая этому
свойству, называется неразложимой.
Используем свойства неотрицательных неразложимых матриц, ко-
торые в удобной для дальнейшего изложения форме приведены в ра-
боте [2] (теорема Перрона – Фробениуса).
Лемма 1.
Пусть для марковского процесса
ξ
(
t
)
матрица
P
=
= (
p
i
j
)
l
i,j
=1
неразложима. Если
α
→
γ
, то
γ
→
α
.
J
(а) Покажем, что для марковского процесса
ξ
(
t
)
из состояния
ε
i
достижимо состояние
ε
j
для всех
i, j
= 1
, . . . , l
.
Рассмотрим порождаемую процессом
ξ
(
t
)
марковскую цепь
S
0
, S
1
, S
2
, . . . , S
n
, S
n
+1
, . . .
на
l
состояниях
ε
1
, . . . , ε
l
с вероятностями переходов за один шаг
P
{
S
n
+1
=
ε
j
|
S
n
=
ε
i
}
=
p
i
j
, i, j
= 1
, . . . , l.
Для цепи
S
n
матрица
P
= (
p
i
j
)
l
i,j
=1
вероятностей переходов за один шаг
неотрицательна и неразложима по условиям леммы. Согласно лемме 2,
приведенной в работе [2], для любых
i
и
j
найдется степень
m
матрицы
P
такая, что для матрицы
P
m
ее элемент на пересечении
i
-й строки и
j
-го столбца неотрицателен, т.е.
P
{
S
m
=
ε
j
|
S
0
=
ε
i
}
>
0
. Существу-
ет последовательность состояний
ε
i
,
˜
ε
1
, . . . ,
˜
ε
m
−
1
, ε
j
, соответствующая
возможности достижения состояния
ε
j
из состояния
ε
i
для цепи
S
n
.
Следовательно, и для процесса
ξ
(
t
)
состояние
ε
j
достижимо из со-
стояния
ε
i
по той же последовательности состояний
ε
i
,
˜
ε
1
, . . . ,
˜
ε
m
−
1
, ε
j
.
Аналогично, состояние
ε
i
достижимо из состояния
ε
j
по некоторой
последовательности состояний
ε
j
,
ˆ
ε
1
, . . . ,
ˆ
ε
l
−
1
, ε
i
.
(б) По условиям (1) рассматривается случайный процесс, для ко-
торого из состояния
θ
возможен скачок только в состояния
θ
−
ε
i
+
ε
j
(если вероятность
p
i
j
>
0
),
i, j
= 1
, . . . , l
. Если
α
→
γ
, то состоя-
ние
γ
достижимо из состояния
α
по последовательности состояний
α
,
α
−
ε
1
+˜
ε
1
,
α
−
ε
1
+˜
ε
1
−
ε
2
+˜
ε
2
,
. . . , γ
=
α
−
ε
1
+˜
ε
1
−
ε
2
+˜
ε
2
−
. . .
−
ε
k
−
1
+
+ ˜
ε
k
−
1
−
ε
k
+ ˜
ε
k
, где
ε
1
,
˜
ε
1
, ε
2
,
˜
ε
2
, . . . , ε
k
−
1
,
˜
ε
k
−
1
, ε
k
,
˜
ε
k
2
A
.
Следовательно, состояние
α
достижимо из состояния
γ
по после-
довательности состояний
γ
,
γ
−
˜
ε
k
+
ε
k
,
γ
−
˜
ε
k
+
ε
k
−
˜
ε
k
−
1
+
ε
k
−
1
,
. . . ,
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 4
7
