с переходными вероятностями
P
αβ
(
t
) = P
{
ξ
(
t
) =
β
|
ξ
(0) =
α
}
,
α, β
2
N
n
.
Плотности переходных вероятностей зададим следующим образом.
Фиксируем множество векторов
A
=
{
ε
1
, . . . , ε
l
2
N
n
}
и матрицу
P
= (
p
i
j
)
l
i,j
=1
, для элементов которой выполнены условия
p
i
j
>
0
,
l
P
j
=1
p
i
j
= 1
и
p
i
i
= 0
,
i, j
= 1
, . . . , l
. Пусть при
Δ
t
→
0+
переходные
вероятности имеют вид
(
λ
i
>
0
, i
= 1
, . . . , l
)
P
αβ
(Δ
t
) =
X
i,j
:
α
−
ε
i
>
0
,
β
=
α
−
ε
i
+
ε
j
λ
i
α
[
ε
i
1
]
1
. . . α
[
ε
i
n
]
n
p
i
j
Δ
t
+
o
(Δ
t
) (
α
6
=
β
);
P
αα
(Δ
t
) = 1
−
l
X
i
=1
λ
i
α
[
ε
i
1
]
1
. . . α
[
ε
i
n
]
n
Δ
t
+
o
(Δ
t
)
,
(1)
где
α
[
ε
i
1
]
1
. . . α
[
ε
i
n
]
n
=
n
Y
j
=1
α
j
(
α
j
−
1)
. . .
(
α
j
−
ε
i
j
+ 1)
. Далее для векторов
α, β, γ
2
N
n
приняты обозначения:
γ
=
α
−
β
, если
γ
1
=
α
1
−
β
1
, . . .
,
γ
n
=
α
n
−
β
n
;
α
>
β
, если
α
1
>
β
1
, . . . , α
n
>
β
n
, и т.п.; примем
α
! =
=
α
1
!
. . . α
n
!
.
Введем многомерные производящие функции [1, 2] (
|
s
|
6
1
)
F
α
(
t
;
s
) =
X
β
2
N
n
P
αβ
(
t
)
s
β
, α
2
N
n
;
h
i
(
s
) =
l
X
j
=1
p
i
j
s
ε
j
, i
= 1
, . . . , l,
где
s
= (
s
1
, . . . , s
n
)
,
s
α
=
s
α
1
1
. . . s
α
n
n
и
|
s
|
6
1
означает, что
|
s
1
|
6
1
, . . .
. . . ,
|
s
n
|
6
1
.
Вторая (прямая) система дифференциальных уравнений Колмого-
рова для переходных вероятностей
P
αβ
(
t
)
,
β
2
N
n
, равносильна ли-
нейному уравнению в частных производных [3, 4] (
|
s
|
6
1
)
∂F
α
(
t
;
s
)
∂t
=
l
X
i
=1
λ
i
(
h
i
(
s
)
−
s
ε
i
)
∂
ε
i
F
α
(
t
;
s
)
∂s
ε
i
(2)
с начальным условием
F
α
(0;
s
) =
s
α
. Здесь
∂
ε
∂s
ε
=
∂
ε
1
+
...
+
ε
n
∂s
ε
1
1
. . . ∂s
ε
n
n
.
Марковский процесс
ξ
(
t
)
интерпретируется как стохастическая си-
стема из
n
частиц различных типов
T
1
, . . . , T
n
,
взаимодействующих
комплексами. Состояние системы характеризуется
n
-мерным векто-
ром
α
= (
α
1
, . . . , α
n
)
2
N
n
, что означает наличие группы частиц
4
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 4
