=
l
X
i
=1
λ
i
l
X
j
=1
p
i
j
s
ε
j
−
s
ε
i
q
ε
i
X
γ
2
K
α
q
γ
−
ε
i
s
γ
−
ε
i
(
γ
−
ε
i
)!
=
=
l
X
j
=1
l
X
i
=1
λ
i
p
i
j
s
ε
j
q
ε
i
−
l
X
i
=1
λ
i
s
ε
i
q
ε
i
X
γ
2
K
α
q
γ
−
ε
1
s
γ
−
ε
1
(
γ
−
ε
1
)!
=
=
X
γ
2
K
α
q
γ
−
ε
1
s
γ
−
ε
1
(
γ
−
ε
1
)!
l
X
j
=1
s
ε
j
l
X
i
=1
λ
i
p
i
j
q
ε
i
−
λ
j
q
ε
j
= 0
,
(12)
так как по условию (10) второй множитель равен нулю.
(б) В случае бесконечного класса
K
α
также используется стацио-
нарное уравнение (3). Достаточное условие существования предельно-
го распределения в замкнутом классе состояний марковского процесса
[1] — наличие нетривиального абсолютно суммируемого решения ста-
ционарной второй системы уравнений Колмогорова.
Выкладки (12), сделанные в пункте (а) для случая, когда выраже-
ние для
f
α
(
s
)
имело конечное число слагаемых, справедливы и при
бесконечном числе слагаемых — в силу абсолютной сходимости сте-
пенного ряда (11) при
|
s
|
6
1
:
|
f
α
(
s
)
|
6
C
−
1
X
γ
2
K
α
q
γ
|
s
|
γ
γ
!
6
C
−
1
X
γ
2
N
n
q
γ
|
s
|
γ
γ
!
6
6
C
−
1
e
q
1
|
s
1
|
+
...
+
q
n
|
s
n
|
6
C
−
1
e
q
1
+
...
+
q
n
<
∞
,
где
0
< C
=
X
γ
2
K
α
q
γ
γ
!
6
X
γ
2
N
n
q
γ
γ
!
6
e
q
1
+
...
+
q
n
<
∞
.
Теорема 1 доказана.
I
Частные случаи.
Стационарное распределение (11) для системы
взаимодействующих частиц связано с основными представлениями
равновесной статистической физики.
Пример 1.
Пусть классы сообщающихся состояний образуют мно-
жества
K
E
=
{
γ
2
N
n
:
γ
1
+
. . .
+
γ
n
=
E
}
, E
= 0
,
1
,
2
, . . . ,
и су-
ществует положительный вектор
q
, удовлетворяющий условиям (10).
Предельное распределение в классе
K
E
задается производящей функ-
цией полиномиального распределения
f
E
(
s
) =
X
γ
2
K
E
q
γ
γ
!
−
1
X
γ
2
K
E
q
γ
s
γ
γ
!
=
=
n
X
i
=1
q
i
−
E
n
X
i
=1
q
i
s
i
E
= (
e
q
1
s
1
+
. . .
+
e
q
n
s
n
)
E
,
(13)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 4
13
