Для нас представляют интерес общие положительные нули, т.е. мно-
жество
Q
=
{
z
= (
z
1
, . . . , z
n
) : ˜
h
j
(
z
)
−
λ
j
z
ε
j
= 0
,
j
= 1
, . . . , l
;
z
i
>
0
, i
= 1
, . . . , n
}
.
Лемма 3.
Пусть матрица
P
= (
p
i
j
)
l
i,j
=1
неразложима. Множество
Q
либо пустое, либо состоит из одной точки или содержит конти-
нуум точек. Для любых
q,
˜
q
2
Q
справедливо равенство
˜
q
ε
1
q
ε
1
=
. . .
=
˜
q
ε
l
q
ε
l
.
(7)
J
(а) По определению множества
Q
рассматриваются положитель-
ные решения системы уравнений
λ
1
p
1
1
z
ε
1
+
. . .
+
λ
l
p
l
1
z
ε
l
=
λ
1
z
ε
1
;
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
λ
1
p
1
j
z
ε
1
+
. . .
+
λ
l
p
l
j
z
ε
l
=
λ
j
z
ε
j
;
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
λ
1
p
1
l
z
ε
1
+
. . .
+
λ
l
p
l
l
z
ε
l
=
λ
l
z
ε
l
.
(8)
Введем вектор
v
= (
v
1
, . . . , v
l
)
, где
v
i
=
λ
i
z
ε
i
,
i
= 1
, . . . , l
; тогда
равенства (8) означают, что вектор
v
является левым собственным
вектором матрицы
P
:
vP
=
v.
Матрица
P
неотрицательна, неразложима и
l
P
j
=1
p
i
j
= 1
,
i
= 1
, . . . , l
. Для
такой матрицы левый собственный вектор единственный (с точностью
до умножения на константу) для собственного значения
1
и может
быть выбран положительным [2].
Из системы (8) получаем равенства
λ
1
z
ε
1
=
Cv
1
;
. . . . . . . . . . . . .
λ
j
z
ε
j
=
Cv
j
;
. . . . . . . . . . . . .
λ
l
z
ε
l
=
Cv
l
,
где
C >
0
;
v
= (
v
1
, . . . , v
l
)
— левый собственный вектор матрицы
P
(для определенности примем
l
P
j
=1
v
j
= 1
). Логарифмируя равенства,
записываем систему
10
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 4
