представляют собой замкнутые классы и являются либо отрезками,
либо полупрямыми из точек с целочисленными координатами.
Предельные стационарные распределения в замкнутых клас-
сах. Теорема 1.
Пусть матрица
P
неразложима и найдется набор
положительных чисел
q
= (
q
1
, . . . , q
n
)
такой, что
l
X
i
=1
λ
i
p
i
j
q
ε
i
−
λ
j
q
ε
j
= 0
, j
= 1
, . . . , l.
(10)
Тогда при любом начальном состоянии
α
марковского процесса,
в классе
K
α
существует предельное стационарное распределение
{
q
αγ
, γ
2
K
α
}
,
q
αγ
= lim
t
→∞
P
αγ
(
t
)
,
α, γ
2
K
α
, а производящая функ-
ция стационарных вероятностей имеет вид
f
α
(
s
) =
X
γ
2
K
α
q
αγ
s
γ
=
X
γ
2
K
α
q
γ
γ
!
−
1
X
γ
2
K
α
q
γ
s
γ
γ
!
.
(11)
Замечание 2.
Покажем корректность формулы (11). Если
˜
q
2
Q
,
то производящая функция
X
γ
2
K
α
˜
q
γ
γ
!
−
1
X
γ
2
K
α
˜
q
γ
s
γ
γ
!
совпадает с производящей функцией (11).
Достаточно показать, что отношение
˜
q
γ
/q
γ
не зависит от состо-
яний
γ
,
γ
2
K
α
. Поскольку состояние
γ
достижимо из состояния
α
, существует последовательность из комплексов взаимодействия
ε
1
,
˜
ε
1
, ε
2
,
˜
ε
2
, . . . , ε
k
−
1
,
˜
ε
k
−
1
, ε
k
,
˜
ε
k
2
A
такая, что
γ
=
α
−
ε
1
+ ˜
ε
1
−
ε
2
+
+ ˜
ε
2
−
. . .
−
ε
k
−
1
+ ˜
ε
k
−
1
−
ε
k
+ ˜
ε
k
.
Справедливо равенство
˜
q
γ
q
γ
=
˜
q
α
+
P
k
i
=1
(
−
ε
i
+˜
ε
i
)
q
α
+
P
k
i
=1
(
−
ε
i
+˜
ε
i
)
=
˜
q
α
q
α
k
Y
i
=1
q
ε
i
˜
q
ε
i
˜
q
˜
ε
i
q
˜
ε
i
=
˜
q
α
q
α
,
так как произведения отношений под знаком произведения равны
1
по
лемме 3.
J
Согласно лемме 2, для рассматриваемого марковского процесса
либо все нетривиальные замкнутые классы конечны, либо все нетри-
виальные замкнутые классы бесконечны.
(а) Пусть класс
K
α
конечный. В конечном замкнутом классе со-
стояний марковского процесса с непрерывным временем всегда суще-
ствует предельное распределение и оно единственно [1]. Для дока-
зательства теоремы достаточно показать, что производящая функция
(11) удовлетворяет стационарному второму уравнению (3):
l
X
i
=1
λ
i
(
h
i
(
s
)
−
s
ε
i
)
∂
ε
i
∂s
ε
i
X
γ
2
K
α
q
γ
s
γ
γ
!
=
12
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 4
