α
=
γ
−
˜
ε
k
+
ε
k
−
˜
ε
k
−
1
+
ε
k
−
1
−
. . .
−
˜
ε
2
+
ε
2
−
˜
ε
1
+
ε
1
,
с учетом того,
что, если совершен скачок из состояния
θ
в состояние
θ
−
ε
i
+
ε
j
, то
и состояние
θ
достижимо из состояния
θ
−
ε
i
+
ε
j
. Действительно, в
силу последнего предложения, сделанного в пункте (а), этого можно
достичь по последовательности состояний
θ
−
ε
i
+
ε
j
,
θ
−
ε
i
+
ε
j
−
ε
j
+ˆ
ε
1
,
. . . , θ
=
θ
−
ε
i
+
ε
j
−
ε
j
+ ˆ
ε
1
−
. . .
−
ˆ
ε
l
−
1
+
ε
i
. Лемма 1 доказана.
I
Обозначим
K
α
=
{
γ
:
α
→
γ
}
множество состояний, дости-
жимых из состояния
α
. Согласно лемме 1, множество
K
α
являет-
ся множеством сообщающихся состояний, или
замкнутым классом
,
K
α
=
{
γ
:
α γ
}
. Каждое состояние
α
2
N
n
принадлежит не-
которому замкнутому классу. Два замкнутых класса либо не имеют
общих состояний, либо совпадают. Тривиальным замкнутым классом
называется класс, содержащий одно состояние.
Лемма 2.
Пусть выполнены условия леммы 1. Нетривиальный за-
мкнутый класс
K
α
является бесконечным тогда и только тогда, ко-
гда имеются
i
и
j
такие, что
ε
i
> ε
j
.
J
(а) Пусть
i
и
j
такие, что
ε
i
> ε
j
и замкнутый класс
K
α
=
=
{
γ
:
α γ
}
нетривиален. Имеется комплекс взаимодействия
ε
m
2
A
такой, что
ε
m
6
α
(если комплекса не существует, то класс
K
α
три-
виален). В пункте (а) доказательства леммы 1 показано, что все со-
стояния
ε
1
, . . . , ε
l
сообщающиеся, в частности
ε
m
ε
j
,
ε
j
ε
i
. Тогда
α α
−
ε
m
+
ε
j
= ˜
α
и
˜
α
>
ε
j
, а из состояния
˜
α
достижимо счетное
множество состояний
γ
k
= ˜
α
+
k
(
ε
i
−
ε
j
)
,
k
= 1
,
2
, . . .
Таким образом,
класс
K
α
бесконечный.
(б) Если не существует
i
и
j
таких, что
ε
i
> ε
j
, то класс
K
α
конечный.
Из построений пункта (а) при доказательстве леммы 1 следует, что
K
ε
1
=
. . .
=
K
ε
l
. Имеем конечный класс
K
ε
i
=
{
ε
1
, . . . , ε
l
}
, поскольку
процесс
ξ
(
t
)
при выходе из состояния
ε
i
может попасть только в одно
из состояний
ε
j
,
j
= 1
, . . . , i
−
1
, i
+ 1
, . . . , l
; другие скачки из состо-
яния
ε
i
невозможны, так как отсутствует комплекс взаимодействия,
меньший состояния
ε
i
.
Конечность класса
K
ε
1
равносильна конечности класса
K
α
,
α
2
N
n
.
Действительно, класс
K
ε
1
— это пересечение
n
-мерного положитель-
ного квадранта
N
n
с гиперплоскостью из точек с целочисленными
координатами
L
ε
1
=
{
γ
:
γ
=
ε
1
+
l
X
i,j
=1
∞
X
k
ij
=0
k
ij
(
−
ε
i
+
ε
j
)
}
.
Класс
K
α
— пересечение
n
-мерного положительного квадранта
N
n
с
8
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 4
