ε
1
1
ln
z
1
+
. . .
+
ε
1
n
ln
z
n
= ln
C
+ ln
v
1
−
ln
λ
1
;
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ε
j
1
ln
z
1
+
. . .
+
ε
j
n
ln
z
n
= ln
C
+ ln
v
j
−
ln
λ
j
;
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ε
l
1
ln
z
1
+
. . .
+
ε
l
n
ln
z
n
= ln
C
+ ln
v
l
−
ln
λ
l
.
(9)
Таким образом, нахождение множества
Q
сводится к рассмотрению
системы линейных уравнений (9). Из линейной алгебры известно, что
система линейных уравнений может быть несовместной, иметь един-
ственное решение или некоторое линейное многообразие решений.
Анализ системы (9) показывает, что множество
Q
может быть пустым,
содержать одну точку или континуум точек.
(б) Пусть
q
и
˜
q
являются положительными решениями системы
(8). Вектор
v
= (
v
1
, . . . , v
l
)
, где
v
i
=
λ
i
q
ε
i
,
i
= 1
, . . . , l
, и вектор
˜
v
= (˜
v
1
, . . . ,
˜
v
l
)
, где
˜
v
i
=
λ
i
˜
q
ε
i
,
i
= 1
, . . . , l
— левые собственные век-
тора матрицы
P
, соответствующие собственному значению
1
. Такой
вектор единственный с точностью до умножения на константу [2]:
˜
v
1
v
1
=
. . .
=
˜
v
l
v
l
.
Значит,
λ
1
˜
q
ε
1
λ
1
q
ε
1
=
. . .
=
λ
l
˜
q
ε
l
λ
l
q
ε
l
и справедливо равенство (7). Лемма 3 доказана.
I
Замечание 1.
Частный случай. Пусть марковский процесс
ξ
(
t
)
определен двумя комплексами взаимодействия
ε
1
, ε
2
2
N
n
. Тогда мно-
жество
Q
не пусто.
Действительно, имеем матрицу
P
=
0 1
1 0
и нахождение множества
Q
сводится к рассмотрению системы
λ
2
z
ε
2
=
λ
1
z
ε
1
;
λ
1
z
ε
1
=
λ
2
z
ε
2
.
Уравнение
λ
1
z
ε
1
=
λ
2
z
ε
2
имеет, очевидно, положительное решение
q
= (
q
1
, . . . , q
n
)
при любых комплексах
ε
1
,
ε
2
.
Отметим, что в случае двух комплексов взаимодействия множества
K
α
=
N
n
∩
L
α
, где
L
α
=
{
γ
:
γ
=
α
+
∞
X
k
=
−∞
k
(
−
ε
1
+
ε
2
)
}
,
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 4
11
