где
e
q
i
=
q
i
n
X
i
=1
q
i
−
1
,
i
= 1
, . . . , n
. Распределение (13) — микрока-
ноническое распределение [8], справедливое для замкнутых систем
взаимодействующих частиц. Если при
t
= 0
имелось
E
частиц про-
извольных типов, то при
t
→ ∞
частицы распределяются по типам
T
1
, . . . , T
n
независимо друг от друга с распределением вероятностей
{
e
q
1
, . . . ,
e
q
n
}
.
Распределение (13) получено в работе [8] для бимолеку-
лярной реакции
T
i
+
T
j
→
T
k
+
T
m
,
i, j, k, m
= 1
, . . . , n
, при требованиях
типа симметрии на плотности (1).
Пример 2.
Пусть имеется один тип частиц
T
и два комплекса вза-
имодействия
ε
1
= 0
,
ε
2
= 1
, т.е. рассматривается схема превращений
0
→
T, T
→
0
. Все множество состояний
N
=
{
0
,
1
, . . .
}
образует
замкнутый класс и стационарным распределением является пуассо-
новское распределение
q
αγ
=
q
γ
γ
!
e
−
q
, γ
2
N.
Такой процесс рассмотрен в работе [12] как открытая система взаимо-
действующих частиц с интерпретацией пуассоновского распределения
как канонического распределения.
Одномерный марковский процесс, приведенный в примере 2, ин-
терпретируется как система массового обслуживания
M
|
M
|∞
[13].
В соответствии с замечанием 1, в случае двух комплексов взаимо-
действия
ε
1
, ε
2
2
N
n
всегда существует стационарное распределение
марковского процесса, определяемое по формуле (11).
Частные случаи результата теоремы 1 приведены в работах [4, 5,
14–16] и др. В работе [15] для бимолекулярных химических реакций со
схемой
T
1
→
2
T
2
;
2
T
2
→
T
1
, схемой
2
T
1
→
T
2
+
T
3
;
T
2
+
T
3
→
2
T
1
, схе-
мами
T
1
+
T
2
→
T
3
;
T
3
→
T
1
+
T
2
и
T
1
+
T
2
→
T
3
+
T
4
;
T
3
+
T
4
→
T
1
+
T
2
,
выражения для производящих функций стационарных вероятностей
сведены к различным гипергеометрическим функциям. В работе [14]
приведено стационарное распределение марковского процесса, соот-
ветствующее схеме взаимодействий
0
→
2
T
;
2
T
→
0
. Распределение
вида (11) установлено методами, отличными от методов, применяе-
мых в настоящей статье, в работе [16] для мономолекулярной схемы
T
1
→
T
2
;
T
2
→
T
1
, схемы ферментативной кинетики
T
1
+
T
2
→
T
3
;
T
3
→
T
1
+
T
2
, T
1
+
T
4
;
T
1
+
T
4
→
T
3
;
0
→
T
1
;
T
1
→
0
, более общей
схемы
T
1
+
T
2
→
T
3
;
T
3
→
T
1
+
T
2
, T
1
+
T
4
;
T
1
+
T
4
→
T
3
;
0
→
T
1
, T
2
;
T
1
→
0
;
T
2
→
0
, схемы
0
→
T
1
+
T
2
;
T
1
+
T
2
→
0
и др.
Заключение.
В настоящей работе применение аналитических ме-
тодов позволило определить явный вид стационарных распределений
для специальных марковских процессов.
14
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 4
