В
геометрическом определении
движение — один из видов непре-
рывного преобразования пространства в себя с параметром
t
, при ко-
тором сохраняются расстояния между объектами и их относительное
расположение [12]. При этом определитель, составленный из коэффи-
циентов матрицы преобразования координат
a
ik
, равен
k
a
ik
k
= +1
.
Преобразование с определителем
k
a
ik
k
=
−
1
, не сохраняющее ориен-
тацию фигур, характеризует отражение относительно некоторой оси.
Кинематическое и геометрическое определения движения эквивалент-
ны.
В
динамическом определении
движение тела массой
M
характе-
ризуется импульсом
p (
x
1
, x
2
, x
3
)
и энергией
E
= p
2
/
(2
M
)
.
Декомпозиция движений в механике включает в себя прямолиней-
ное перемещение со скоростью
v
t
и (или) вращение вокруг мгно-
венного центра с угловой скоростью
Ω
,
δ
r = v
t
δt
+ Ω
×
δr
. Движе-
нию соответствует группа преобразований, состоящая из независимых
подгрупп перемещений и вращений (коммутативная специальная ор-
тогональная SO(2) в двумерном пространстве и специальная некомму-
тативная SO(3) в трехмерном). Преобразования, задаваемые группой
движений, изучает элементарная геометрия.
В силу свойства внешней композиции скорость
v
и импульс
p =
M
v
, которые отличаются скалярным множителем
M
, принад-
лежат одному векторному пространству. Следовательно, скорости,
определенные математически и кинематически
v =
τ
dS
t
dt
или геоме-
трически и динамически
v
d
= p
/M
(как отношение двух инвариантов)
тождественны.
В силу свойств векторного пространства перечисленные опреде-
ления движения твердого тела — физическое, кинематическое, геоме-
трическое и динамическое — эквивалентны. Именно единство опре-
деления разных форм движения связывает инвариантные свойства
пространства (однородность, изотропность) с законами сохранения
(теорема Нетер). Все параметры движения — координаты, скорость,
ускорение, импульс, энергия — наблюдаемы, т.е. измеримы независи-
мыми способами с объективным контролем погрешности и сводятся к
измерениям расстояний, временных интервалов и массы, для которых
существуют прецизионные образцы — эталоны.
Движения тел описываются на основе законов Ньютона [13] в ал-
гебрах вещественных, комплексных чисел и кватернионов (послед-
нее предпочтительно при символьном программировании задач нави-
гации). Описание динамики движений также проводится в фазовом
пространстве (скоростей, импульсов или волновых чисел). Для полно-
го описания движений используется расширенное шестимерное про-
странство, объединяющее пространства координат и скоростей.
72
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 6
