трещин. Описанная здесь и в работах [9, 10] модель будет далее при-
меняться в предметных решателях платформы Теметос [11].
Математическая модель.
При построении моделей хрупких мате-
риалов будем исходить из следующей математической модели термо-
упругого материала. Рассмотрим сплошную среду в квазистационар-
ном двумерном приближении, а в качестве базовых выберем приве-
денные ниже соотношения
1
[12].
1. Тензор малых деформаций Коши в предположении существова-
ния его аддитивного разложения
ε
kl
=
1
2
∂u
k
∂x
l
+
∂u
l
∂x
k
=
ε
e
kl
+
ε
0
kl
,
(1)
где
u
k
=
u
k
(x
, t
)
— компоненты вектора перемещений сплошной среды
в точке
x =
{
x
1
, x
2
, x
3
}
т
(в одномерном случае
x
1
≡
x
) в момент вре-
мени
t
;
ε
e
kl
— компоненты упругой составляющей тензора деформаций;
ε
0
kl
— компоненты тензора неупругих деформаций среды. В частности,
для термоупругого тела
ε
0
kl
=
ε
T
kl
=
α
T
kl
Δ
T,
где
α
T
ij
— компоненты (симметричного) тензора коэффициентов тем-
пературной деформации;
T
(x
, t
)
— температура;
Δ
T
=
T
(x
, t
)
−
T
0
—
приращение температуры относительно уровня нулевых деформаций.
2. Определяющее соотношение (закон Гука)
σ
ij
=
C
ijkl
ε
e
kl
или с учетом аддитивного разложения (1)
σ
ij
=
C
ijkl
ε
kl
−
ε
0
kl
,
(2)
где
σ
ij
— компоненты тензора напряжений;
C
ijkl
— компоненты тензора
упругих коэффициентов.
3. Уравнение равновесия
∂σ
ji
∂x
j
+
b
i
= 0
, i
= 1
,
3
(3)
вместе с граничными условиями
u
i
(x
, t
) = ˜
u
i
(x
, t
)
,
x
2
S
u
и
σ
ij
(x)
n
j
(x) =
e
p
i
(x)
,
x
2
S
p
, где
S
=
S
u
∪
S
p
— поверхность рас-
сматриваемого тела;
σ
ji
— компоненты тензора напряжений;
b
i
—
компоненты вектора объемных сил.
После применения метода возможных перемещений и дискрети-
зации по пространству методом конечных элементов (МКЭ) задача
1
Здесь и далее предполагается суммирование по повторяющимся индексам.
98
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 6
