σ
σ
f
=
A
+
Be
−
C
ε
ε
f
,
(4)
где
A
≈ −
0
,
024
;
B
≈
1
,
69
;
C
= 0
,
5
. Полагается, что зависимость (4)
справедлива при
ε < ε
0
(
ε
0
— значение деформации, большее предела
прочности в 5–10 раз, при котором материал не способен передавать
напряжения в одномерном случае, а в многомерном — не передает на-
пряжения в направлении, ортогональном направлению трещины) [5].
Одномерная модель.
Для определения напряжений в материале
с описанными свойствами будем использовать подход, аналогичный
подходу в моделях упругопластических материалов [12]. В каче-
стве численного метода применим метод дополнительных деформа-
ций [16]. Введем понятие переменного предела прочности
σ
v
f
(
ε
)
,
который в недеформированном состоянии материала равен пределу
прочности при растяжении [2]:
σ
v
f
(0) =
σ
f
. Напряжения при заданных
значениях деформаций не могут превышать значения переменного
предела прочности, определяемого экспериментальной кривой, пред-
ставленной на рис. 2. Если в процессе численного решения задачи
указанное условие не выполняется, то напряжения определяются
из экспериментальной зависимости (4) при вычисленных значени-
ях деформаций. Используем следующую нелинейную зависимость
напряжения от деформации:
σ
(
ε
) =
σ
=
Eε
e
, Eε
e
< σ
v
f
(
ε
);
σ
v
f
(
ε
) =
σ
f
A
+
Be
−
C
ε
e
ε
f
, Eε
e
>
σ
v
f
(
ε
)
,
(5)
где
E
— модуль Юнга;
ε
e
— упругая деформация. Как и ранее, предпо-
лагаем наличие аддитивного разложения тензора полных деформаций,
поэтому значение упругой деформации определяется как
ε
e
=
ε
−
ε
T
−
ε
crk
.
Здесь
ε
— значение полной деформации, полученное в результате ре-
шения уравнений движения;
ε
T
— значение температурной деформа-
ции;
ε
crk
— значение деформации за счет трещин, рассчитанное на
предыдущем временн´ом шаге,
ε
crk
=
ε
−
ε
T
−
σ
(
ε
)
/E
;
напряжение
σ
(
ε
)
определяется по (5). Отметим, что при первоначаль-
ном нагружении, когда материал не подвергается нагрузкам, большим
предела прочности, значение деформации за счет трещин равно нулю,
а в послепиковой области, где материал ведет себя по нелинейным
законам,
ε
crk
>
0
. При разгрузке значение деформаций за счет тре-
щин, полученное на предыдущем шаге нагружения, не изменяется, а
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 6
101
