В отличие от одномерного случая для тензора деформаций не пред-
полагается возможности аддитивного выделения деформаций растре-
скивания. Вместо этого рассмотрим две конфигурации тела — без
растрескивания (
K
1
) и с учетом образования трещин (
K
2
). Для кон-
фигурации
K
1
справедлив закон Гука:
~σ
= [
C
]
~ε
e
.
(7)
Рассмотрим в конфигурации
K
1
систему координат, связанную с
главными направлениями тензора деформаций. В этой системе коор-
динат перепишем закон Гука (7) в виде
σ
=
C ε
e
.
Отметим, что матрица перехода
ˆ
P
к главным направлениям тензора
деформаций является ортогональной, поэтому
~ε
T
~σ
=
ε
T
σ.
Закон Гука для конфигурации
K
2
имеет вид
e
σ
=
e
C
e
ε
e
=
e
C
e
ε
−
e
ε
T
.
Поскольку матрица перехода
ˆ
E
из конфигурации
K
1
в конфигурацию
K
2
является диагональной и поворота осей при этом не происходит,
справедливы соотношения
e
ε
=
ε
;
e
ε
T
=
ε
T
;
e
σ
=
σ,
а определяющее соотношение можно записать как
σ
=
e
C ε
−
ε
T
,
где
h e
C
i
=
E
т
CE
.
Вернемся к исходной системе координат с помощью соотношений
~σ
= ˆ
P
т
σ
;
~ε
= ˆ
P
−
1
ε
;
~ε
T
= ˆ
P
−
1
ε
T
;
C
= ˆ
P
−
1
т
[
C
] ˆ
P
−
1
,
отсюда
~σ
= ˆ
P
т
e
C
ˆ
P ~ε
−
~ε
T
,
причем
ˆ
P
т
e
C
ˆ
P
= ˆ
P
т
ˆ
E
т
C
ˆ
E
ˆ
P
=
= ˆ
P
т
ˆ
E
т
ˆ
P
−
1
т
[
C
] ˆ
P
−
1
ˆ
E
ˆ
P .
Введем обозначение
Z
=
P
−
1
EP
,
тогда
~σ
= ˆ
Z
B
ˆ
C
ˆ
Z ~ε
−
~ε
T
= ˆ
C
crk
~ε
−
~ε
T
.
Осталось определить вид матрицы
ˆ
E
перехода из конфигурации
без растрескивания в конфигурацию с учетом образования трещин.
Выполним это, обобщив функцию памяти (6) на многомерный слу-
чай и определив аналогичным образом функцию памяти трещины,
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 6
103
