деформирования термоупругого тела (1)–(3) сводится к решению сле-
дующего матричного уравнения [13, 14]:
[
K
]
{
U
}
=
{
R
}
.
Здесь использованы стандартные обозначения МКЭ:
{
U
}
— глобаль-
ный (узловой) вектор перемещений;
~ε
= [
B
]
{
U
}
— вектор деформа-
ций;
[
B
]
— геометрическая матрица аппроксимации, зависящая от вида
конечных элементов;
~σ
= [
C
] (
~ε
−
~ε
0
)
— вектор напряжений;
[
C
]
— ма-
трица упругих коэффициентов;
[
K
] =
R
V
[
B
]
т
[
C
] [
B
]
dV
— глобальная
матрица жесткости,
{
R
}
=
{
R
p
}
+
{
R
V
}
+
{
R
ε
0
}
— глобальный вектор нагрузки, в котором составляющая
{
R
p
}
отвеча-
ет за вклад поверхностных нагрузок, составляющая
{
R
V
}
— за вклад
объемных нагрузок, составляющая
{
R
ε
0
}
— за вклад неупругих дефор-
маций
ε
0
.
Моделирование разрушения.
Разрушение тела зависит от раз-
личных факторов, многие из которых имеют случайный характер, не
всегда изучены качественно или даже неизвестны: это структура ма-
териала, характер нагрузок, внешние условия, состояние материала в
процессе использования, внутренние дефекты и др.
В связи с характером задач моделирования хрупкого разрушения
[2] — множеством возникающих практически мгновенно трещин и не-
возможности отслеживания развития каждой из них — интерес пред-
ставляют модели, учитывающие трещины эффективным образом [3–6,
15]. Наиболее простым и реалистичным при исследовании разрушения
и оценке прочности является анализ состояния материала на основе
положений механики сплошной среды с учетом особенностей структу-
ры материала [3, 12]. Модели, описывающие изменение механических
свойств материала в рамках модели сплошной среды, рассмотрены в
работах [3, 4]. Будем основываться на подобных моделях, поскольку
они позволяют рассмотреть развитие трещин и изменение напряжен-
ного и деформированного состояний.
Для моделирования разрушения топливных таблеток из диокси-
да урана (
UO
2
) применяют подход размазанных (фиктивных) трещин
и модели разрушения, первоначально сформулированные для бетона
или керамики [5]. При нагружении конструкции из хрупкого мате-
риала, когда значения напряжений превышают предел прочности ма-
териала, модель размазанных трещин описывает растрескивание как
разгрузку по всему объему конструкции в сочетании с дополнитель-
ным ее растяжением. Таким образом, модель размазанных трещин
формулируется через связь напряжений и удлинений в зоне трещины
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 6
99
