материал ведет себя как линейно-упругий с пределом прочности
σ
v
f
(
ε
)
и модулем Юнга
E
.
Результаты тестовых расчетов для этой модели приведены в рабо-
те [17].
Многомерная модель.
Математическую модель разрушения в мно-
гомерном случае построим по аналогии с моделью, приведенной в
работе [15]. Отметим, что зависимость (4) можно переписать в виде
σ
σ
f
=
σ
ε
ε
ε
f
ε
f
σ
f
=
A
+
Be
−
C
ε
ε
f
.
Учитывая соотношения
σ/ε
=
E
и
σ
f
/ε
f
=
E
0
(
E
и
E
0
— текущий и
начальный модули Юнга), получаем
E
E
0
ε
ε
f
=
A
+
Be
−
C
ε
ε f
.
В таком случае можно утверждать о функции памяти
e
(
t
)
, имею-
щей смысл отношения текущего и начального модуля Юнга:
e
(
t
) =
E
E
0
=
ε
f
ε
A
+
Be
−
C
ε
ε
f
.
(6)
Зависимость (6) справедлива, когда
ε
f
6
ε
6
ε
0
; при
ε < ε
f
e
(
t
) = 1
,
при
ε > ε
0
e
(
t
) = 0
. С использованием построенной функции памяти
для одномерного случая модифицируются определяющие соотноше-
ния в математической модели топливной таблетки.
Для применения понятия функции памяти необходимо выбрать та-
кую систему координат, в которой тензор деформаций можно привести
к трем независимым компонентам — главным осям тензора деформа-
ций. Пусть матрица перехода
ˆ
T
диагонализирует тензор деформаций
ˆ
ε
:
ε
1
0 0
0
ε
2
0
0 0
ε
3
= ˆ
T
−
1
ˆ
ε
ˆ
T ,
где
ε
1
, ε
2
, ε
3
— главные значения тензора деформаций
ˆ
ε
. Из компонент
матрицы
ˆ
T
размерностью
3
×
3
единственным образом можно соста-
вить матрицу преобразования
ˆ
P
размерностью
4
×
4
, которая приводит
вектор деформаций
~ε
в нотации Фойгта к виду
{
ε
1
, ε
2
, ε
3
,
0
}
т
2
:
ε
=
ε
1
ε
2
ε
3
0
= [
P
]
ε
11
ε
22
ε
33
γ
12
= ˆ
P~ε,
где
γ
12
=
γ
21
=
ε
12
+
ε
21
— сдвиговая деформация.
2
Здесь и далее векторы деформаций и напряжений, записанные в главных осях
тензора деформаций, обозначены символом
∙
.
102
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 6
