F
(
x, w
)
2
M
. Данное определение можно переформулировать сле-
дующим образом: множество
M
положительно инвариантно, если
F
(
M
×
W
)
M
. Непосредственно из определения вытекает, что
если
x
0
2
X
принадлежит положительно инвариантному множеству
M X
, то при любых возмущениях
w
n
2
W
траектория
{
x
n
}
си-
стемы, определяемая соотношениями
x
n
+1
=
F
(
x
n
, w
n
)
,
n
= 0
,
1
, . . .
,
целиком содержится в множестве
M
.
Ограничимся изучением положительно инвариантных компактов —
робастно положительно инвариантных множеств с дополнительным
свойством компактности. Поставим задачу оценки положения поло-
жительно инвариантных компактов систем с возмущениями, понимая
под этим построение таких множеств в фазовом пространстве систе-
мы, которые включают в себя все положительно инвариантные ком-
пакты. Подобные множества называют локализирующими [5–8].
Рассмотрим произвольную непрерывную функцию
ϕ
:
X
→
R
.
Введем множества
Σ
+
ϕ
=
n
x
2
X
: inf
w
2
W
ϕ
(
F
(
x, w
))
−
ϕ
(
x
)
≥
0
o
,
Σ
−
ϕ
=
n
x
2
X
: sup
w
2
W
ϕ
(
F
(
x, w
))
−
ϕ
(
x
)
≤
0
o
.
Для произвольного множества
Q X
положим
ϕ
r
inf
(
Q
) = inf
x
2
Σ
+
ϕ
∩
Q
ϕ
(
x
)
,
ϕ
r
sup
(
Q
) = sup
x
2
Σ
−
ϕ
∩
Q
ϕ
(
x
)
.
Если
Q
=
X
, то вместо
ϕ
r
inf
(
Q
)
и
ϕ
r
sup
(
Q
)
будем использовать обозна-
чения
ϕ
r
inf
и
ϕ
r
sup
.
Теорема 1.
Любой положительно инвариантный компакт системы
(1)
, содержащийся в множестве
Q X
, содержится в множестве
Ω
r
ϕ
(
Q
) =
{
x
2
Q
:
ϕ
r
inf
(
Q
)
≤
ϕ
(
x
)
≤
ϕ
r
sup
(
Q
)
}
.
Доказательство.
Пусть
K
— положительно инвариантный ком-
пакт, содержащийся в
Q
. Функция
ϕ
достигает на этом компакте наи-
большего значения в некоторой точке
x
2
K
. Тогда для любого значе-
ния
w
2
W
имеем
F
(
x , w
)
2
K
(в силу условия положительной ин-
вариантности), откуда
ϕ
(
F
(
x , w
))
≤
ϕ
(
x
)
. Следовательно,
x
2
Σ
−
ϕ
и для любой точки
x
2
K
ϕ
(
x
)
≤
ϕ
(
x
)
≤
sup
x
2
Σ
−
ϕ
∩
Q
ϕ
(
x
) =
ϕ
r
sup
(
Q
)
.
Аналогично доказывается неравенство
ϕ
(
x
)
≥
ϕ
r
inf
(
Q
)
,
x
2
K
. Оба
неравенства означают, что
K
Ω
r
ϕ
(
Q
)
.
4
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 3
