Свойство 5.
Любой инвариантный компакт, содержащийся в мно-
жестве
G X
, содержится и в множествах
_
F
−
1
(
G
)
и
ˆ
F
(
G
)
. В
частности, если множество
G
содержит все инвариантные компак-
ты системы
(1)
, то множества
_
F
−
1
(
G
)
,
ˆ
F
(
G
)
и
_
F
−
1
(
G
)
∩
ˆ
F
(
G
)
также содержат все инвариантные компакты системы.
Доказательство.
Если инвариантный компакт
K X
содержит-
ся в множестве
G
, то он как положительно инвариантный компакт
содержится в множестве
_
F
−
1
(
G
)
(свойство 3), а как отрицательно ин-
вариантный компакт — в множестве
ˆ
F
(
G
)
(свойство 4). В частности,
компакт
K
содержится в пересечении этих множеств
_
F
−
1
(
G
)
∩
ˆ
F
(
G
)
.
5. Максимальные робастно инвариантные компакты.
Любое
множество
G X
в фазовом пространстве
X
системы (1) порождает
множества
G
0
=
G, G
k
=
G
k
−
1
∩
_
F
−
1
(
G
k
−
1
)
, k
= 1
,
2
, . . . ,
(3)
и их пересечение
G
∞
=
∞
\
k
=0
G
k
.
Теорема 5.
Для любого множества
G X
соответствующее мно-
жество
G
∞
является положительно инвариантным для системы
(1)
.
Доказательство.
Пусть
x
2
G
∞
. Тогда для произвольного
k
≥
1
имеем
x
2
G
k
. Следовательно, для любого
w
2
W
выполняется
включение
x
2
F
−
1
w
(
G
k
−
1
)
, означающее, что
F
(
x, w
)
2
G
k
−
1
. Таким
образом, для любого
w
2
W
имеем
F
(
x, w
)
2
∞
T
k
=1
G
k
−
1
=
G
∞
. Соглас-
но определению, множество
G
∞
положительно инвариантно.
Теорема 5.
Если множество
G
компактно, то соответствую-
щее множество
G
∞
— максимальный положительно инвариантный
компакт системы
(1)
среди содержащихся в
G
положительно инва-
риантных компактов. В частности, если
G
содержит все положи-
тельно инвариантные компакты системы, то
G
∞
— максимальный
положительно инвариантный компакт системы.
Доказательство.
Так как множество
G
компактно, то все множе-
ства
G
k
замкнуты. Значит, множество
G
∞
замкнуто как пересечение
замкнутых множеств. С учетом
G
∞
G
заключаем, что
G
∞
— ком-
пакт. Согласно теореме 4 это множество есть положительно инвари-
антный компакт.
Согласно свойству 3 множество
G
1
=
G
0
∩
_
F
−
1
(
G
0
)
содержит все
положительно инвариантные компакты рассматриваемой системы, со-
держащиеся в множестве
G
. Повторяя это умозаключение, делаем вы-
10
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 3
