Аналогично
ψ
r
inf
(
Q
) =
h ϕ
r
inf
(
Q
)
. Таким образом, неравенства
ψ
r
inf
(
Q
)
≤
ψ
(
x
)
≤
ψ
r
sup
(
Q
)
эквивалентны неравенствам
ϕ
r
inf
(
Q
)
≤
≤
ϕ
(
x
)
≤
ϕ
r
sup
(
Q
)
. Тем самым доказано, что в случае возрастающей
функции
h
множества
Ω
r
ψ
(
Q
)
и
Ω
r
ϕ
(
Q
)
совпадают.
Если функция
h
убывает, то неравенство
ψ
(
x
1
)
≤
ψ
(
x
2
)
эквива-
лентно неравенству
ϕ
(
x
1
)
≥
ϕ
(
x
2
)
. В силу этого эквивалентны нера-
венства
sup
w
2
W
ψ
(
F
(
x, w
))
≤
ψ
(
x
)
и
inf
w
2
W
ϕ
(
F
(
x, w
))
≥
ϕ
(
x
)
.
Таким образом,
Σ
−
ψ
= Σ
+
ϕ
и
ψ
r
sup
(
Q
) = sup
x
2
Σ
−
ψ
∩
Q
ψ
(
x
) = sup
x
2
Σ
+
ϕ
∩
Q
h
(
ϕ
(
x
)) =
=
h
inf
x
2
Σ
+
ϕ
∩
Q
ϕ
(
x
) =
h ϕ
r
inf
(
Q
)
.
Аналогично
ψ
r
inf
(
Q
) =
h ϕ
r
sup
(
Q
)
. В результате неравенства
ψ
r
inf
(
Q
)
≤
≤
ψ
(
x
)
≤
ψ
r
sup
(
Q
)
можно переписать в виде
h ϕ
r
sup
(
Q
)
≤
h
(
ϕ
(
x
))
≤
≤
h ϕ
r
inf
(
Q
)
, что эквивалентно неравенствам
ϕ
r
inf
(
Q
)
≤
ϕ
(
x
)
≤
ϕ
r
sup
(
Q
)
.
Тем самым совпадение множеств
Ω
r
ψ
и
Ω
r
ϕ
доказано и в случае убыва-
ющей функции
h
.
Свойство 2.
Если непрерывная функция
ϕ
:
X
→
R
достига-
ет на
X
точной верхней грани в некоторой точке
x
2
Q
, то
ϕ
r
sup
(
Q
) =
ϕ
l
sup
(
Q
) =
ϕ
sup
(
Q
) =
ϕ
(
x
)
. Если функция
ϕ
достига-
ет на
X
точной нижней грани в некоторой точке
x
2
Q
, то
ϕ
r
inf
(
Q
) =
ϕ
l
inf
(
Q
) =
ϕ
inf
(
Q
) =
ϕ
(
x
)
.
Доказательство.
Второе утверждение сводится к первому, если
поменять знак локализирующей функции. Кроме того, доказательства
для значений
ϕ
r
sup
(
Q
)
,
ϕ
l
sup
(
Q
)
,
ϕ
sup
(
Q
)
аналогичны. Поэтому ограни-
чимся лишь первым из них. Если функция
ϕ
достигает на
X
точной
верхней грани в некоторой точке
x
2
Q
, то для любого
w
2
W
вы-
полняется неравенство
ϕ
(
F
(
x , w
))
≤
ϕ
(
x
)
. Следовательно,
sup
w
2
W
ϕ
(
F
(
x , w
))
−
ϕ
(
x
)
≤
0
и точка
x
принадлежит множеству
Σ
−
ϕ
∩
Q
. Ясно, что
ϕ
r
sup
(
Q
) = sup
x
2
Σ
−
ϕ
∩
Q
ϕ
(
x
)
≥
ϕ
(
x
)
.
Но верно и противоположное неравенство, поскольку
ϕ
(
x
)
— точная
верхняя грань функции
ϕ
на
X
. Значит,
ϕ
r
sup
(
Q
) =
ϕ
(
x
)
.
Для систем с возмущениями существуют аналоги свойств, уста-
новленных для дискретных систем без возмущений и связанных со
сдвигами локализирующих множеств вдоль траекторий системы [6, 8].
8
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 3
