Для произвольного множества
G X
введем обозначение
_
F
−
1
(
G
) =
\
w
2
W
F
−
1
w
(
G
)
.
Свойство 3.
Любой положительно инвариантный компакт, содер-
жащийся в множестве
G X
, содержится и в множестве
_
F
−
1
(
G
)
.
В частности, если множество
G
содержит все положительно инва-
риантные компакты системы
(1)
, то и множество
_
F
−
1
(
G
)
содер-
жит все положительно инвариантные компакты системы.
Доказательство.
Пусть
K G
— положительно инвариантный
компакт и
x
2
K
. Согласно определению положительно инвариант-
ного множества, для произвольного
w
2
W
имеет место условие
F
(
x, w
)
2
K G
. Это условие означает, что
x
2
F
−
1
w
(
G
)
. Отсю-
да приходим к выводу, что
x
2
T
w
2
W
F
−
1
w
(
G
) =
_
F
−
1
(
G
)
. Тем самым
доказано, что
K
_
F
−
1
(
G
)
, т.е. любой положительно инвариантный
компакт
K
, содержащийся в
G
, содержится в множестве
_
F
−
1
(
G
)
.
Для произвольного множества
G X
введем обозначение
ˆ
F
(
G
) =
y
2
X
:
^
F
−
1
(
y
)
G
o
.
Множество
ˆ
F
(
G
)
представляет собой часть множества
F
(
G
×
W
)
с
добавлением тех точек
y
2
X
, для которых прообраз
^
F
−
1
(
y
)
пуст.
Множество
ˆ
F
(
G
)
можно определить следующим образом:
ˆ
F
(
G
) =
X
\
F
((
X
\
G
)
×
W
)
.
Действительно, условие
^
F
−
1
(
y
)
G
равносильно тому, что для любо-
го
x
2
X
\
G
и для любого
w
2
W
выполняется условие
F
(
x, w
)
6
=
y
.
Другими словами, включение
^
F
−
1
(
y
)
G
эквивалентно условию
y /
2
F
((
X
\
G
)
×
W
)
.
Свойство 4.
Любой отрицательно инвариантный компакт, содер-
жащийся в множестве
G X
, содержится и в множестве
ˆ
F
(
G
)
.
В частности, если множество
G
содержит все отрицательно инва-
риантные компакты системы
(1)
, то и множество
ˆ
F
(
G
)
содержит
все отрицательно инвариантные компакты системы.
Доказательство.
Пусть
K G
— отрицательно инвариантный
компакт и
x
2
K
. Поскольку
K
— отрицательно инвариантное мно-
жество, выполняется соотношение
^
F
−
1
(
x
)
K G
. Следовательно,
x
2
ˆ
F
(
G
)
. Тем самым доказано, что любой отрицательно инвариант-
ный компакт
K G
содержится в множестве
ˆ
F
(
G
)
.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 3
9
