открыто, а множество
ˆ
F
(
U
0
) =
X
\
F
(
X
\
U
0
)
×
W
замкнуто. Отсюда
вытекает, что множество
U
1
=
U
0
∩
ˆ
F
(
U
0
)
замкнуто. Повторяя рассу-
ждения, заключаем, что все множества
U
k
замкнуты, а следовательно,
и их пересечение
U
∞
замкнуто.
Поскольку
U
∞
— замкнутое подмножество компакта
G
, то
U
∞
—
компакт. Таким образом, согласно теореме 6 множество
U
∞
— отрица-
тельно инвариантный компакт.
Согласно свойству 4 множество
U
1
включает все отрицательно ин-
вариантные компакты рассматриваемой системы, содержащиеся в
G
.
Повторяя это умозаключение, делаем вывод, что все множества
U
k
являются локализирующими для отрицательно инвариантных компак-
тов, содержащихся в
G
. Таким образом, множество
U
∞
— пересечение
всех множеств
U
k
— содержит все отрицательно инвариантные ком-
пакты, содержащиеся в
G
. Значит, это множество есть максимальный
отрицательно инвариантный компакт среди содержащихся в
G
.
Замечание 2.
Если множество
U
∞
пустое, то утверждение теоре-
мы 7 следует трактовать так: система вообще не имеет отрицательно
инвариантных компактов, содержащихся в множестве
G
.
Любое множество
G X
в фазовом пространстве
X
системы (1)
порождает последовательность множеств
V
0
=
G, V
k
=
V
k
−
1
∩
_
F
−
1
(
V
k
−
1
)
∩
ˆ
F
(
V
k
−
1
)
, k
= 1
,
2
, . . . ,
(5)
и их пересечение
V
∞
=
∞
\
k
=0
V
k
.
Теорема 8.
Для любого множества
G X
соответствующее
множество
V
∞
для системы
(1)
является инвариантным.
Доказательство.
Пусть
x
2
V
∞
. Тогда
x
2
V
k
для всех
k
≥
1
.
Значит,
x
2
_
F
−
1
(
V
k
−
1
)
и для любого
w
2
W
имеем
x
2
F
−
1
w
(
V
k
−
1
)
.
Последнее включение означает, что
F
(
x, w
)
2
V
k
−
1
. Таким образом,
F
(
V
∞
×
W
)
V
k
−
1
,
k
≥
1
, т.е.
F
(
V
∞
×
W
)
V
∞
и множество
V
∞
положительно инвариантно.
Из условия
x
2
V
∞
вытекает, что
x
2
ˆ
F
(
V
k
−
1
)
,
k
≥
1
. Зна-
чит,
^
F
−
1
(
x
)
V
k
−
1
,
k
≥
1
, откуда
^
F
−
1
(
x
)
V
∞
. Таким образом,
^
F
−
1
(
V
∞
)
2
V
∞
и множество
V
∞
— отрицательно инвариантный ком-
пакт. Теорема доказана.
Теорема 9.
Если отображение
F
при любом фиксированном
w
2
W
является открытым, а множество
G
компактно, то множество
V
∞
— максимальный инвариантный компакт системы
(1)
среди со-
держащихся в
G
. В частности, если
G
включает все инвариантные
12
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 3
