и точка
x
принадлежит множеству
ˇΣ
+
ϕ
∩
Q
. Поэтому для каждой точки
x
2
K
выполняются соотношения
ϕ
(
x
)
≤
ϕ
(
x
)
≤
sup
x
2
ˇΣ
+
ϕ
∩
Q
ϕ
(
x
) =
ϕ
l
sup
(
Q
)
.
Аналогично доказывается, что
ϕ
(
x
)
≥
ϕ
(
x
)
≥
ϕ
l
inf
(
Q
)
,
x
2
K
.
Таким образом, для каждой точки
x
2
K
верно двойное неравен-
ство
ϕ
l
inf
(
Q
)
≤
ϕ
(
x
)
≤
ϕ
l
sup
(
Q
)
, означающее, что
x
2
Ω
l
ϕ
(
Q
)
. Тем
самым доказано, что произвольно выбранный отрицательно инвари-
антный компакт
K
целиком содержится в
Ω
l
ϕ
(
Q
)
.
Предположим, что отображение
F
:
X
×
W
→
X
, задающее си-
стему (1), для каждого фиксированного значения
w
2
W
является
гомеоморфизмом. В этом случае систему (1) будем называть обра-
тимой. Обозначим через
F
−
1
отображение, определяемое равенством
F
−
1
(
F
(
x, w
)
, w
) =
x
(т.е.
F
−
1
— отображение, обратное
F
(
x, w
)
при
фиксированном
w
). Систему
x
n
+1
=
F
−
1
(
x
n
, w
n
)
(2)
назовем системой, обратной системе (1). Отметим, что при этом си-
стема (1) является обратной системе (2).
Множество
K
есть положительно (отрицательно) инвариантный
компакт системы (1) тогда и только тогда, когда оно есть отрица-
тельно (положительно) инвариантный компакт обратной системы
(2). В самом деле, положив
H
(
x, w
) =
F
−
1
(
x, w
)
, заключаем, что
F
(
K
×
W
) =
^
H
−
1
(
K
)
и
H
(
K
×
W
) =
^
F
−
1
(
K
)
. Поэтому условие
F
(
K
×
W
)
K
положительной инвариантности
K
для системы (1)
совпадает с условием
^
H
−
1
(
K
)
K
отрицательной инвариантности
K
для системы (2), а условие
^
F
−
1
(
K
)
K
отрицательной инвари-
антности
K
для системы (1) совпадает с условием
H
(
K
×
W
)
K
положительной инвариантности обратной системы.
3. Робастно инвариантные компакты.
Для системы (1) множе-
ство
M X
назовем робастно инвариантным или просто инвариант-
ным, если оно одновременно и робастно положительно инвариантно,
и робастно отрицательно инвариантно, т.е. выполняются соотношения
F
(
M
×
W
)
M,
^
F
−
1
(
M
)
M.
Для произвольной непрерывной функции
ϕ
:
X
→
R
и произволь-
ного множества
Q X
положим
ϕ
inf
(
Q
) = inf
x
2
ˇΣ
−
ϕ
∩
Σ
+
ϕ
∩
Q
ϕ
(
x
)
, ϕ
sup
(
Q
) = sup
x
2
ˇΣ
+
ϕ
∩
Σ
−
ϕ
∩
Q
ϕ
(
x
)
.
6
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 3
