компакты системы, то
V
∞
— максимальный инвариантный компакт
этой системы.
Доказательство.
Если множество
V
замкнуто, то множества
_
F
−
1
(
V
)
и
ˆ
F
(
V
)
замкнуты (см. доказательства теорем 5 и 7). Учи-
тывая, что
V
0
=
G
— компакт, заключаем, что все множества
V
k
,
k
≥
1
,
замкнуты. Следовательно, и множество
V
∞
замкнуто. А поскольку
V
∞
есть замкнутое подмножество компакта
G
, делаем вывод, что
V
∞
—
компакт. Согласно теореме 8 множество
V
∞
— инвариантный компакт.
Согласно свойству 5 каждое из множеств
V
k
,
k
≥
0
, включает все
инвариантные компакты рассматриваемой системы, содержащиеся в
множестве
G
. Поэтому и множество
V
∞
, как пересечение локализиру-
ющих множеств, содержит все инвариантные компакты, содержащи-
еся в
G
, т.е. является максимальным в
G
инвариантным компактом.
Теорема доказана.
Замечание 3.
Если множество
V
∞
оказалось пустым, то утвержде-
ние теоремы 9 следует трактовать так: в множестве
G
вообще нет
инвариантных компактов системы.
Отметим, что последовательность
{
G
k
}
есть последовательность
убывающих множеств. Поэтому множество
G
∞
можно рассматривать
как предел последовательности множеств [10]. Если исходное мно-
жество
G
компактно, то
G
∞
есть предел последовательности
{
G
k
}
и
в смысле топологии арифметического пространства, т.е. для любого
открытого множества
A
, включающего в себя
G
∞
, все множества
G
k
,
начиная с некоторого, также содержатся в
A
. Действительно, последо-
вательность
{
G
k
\
A
}
есть последовательность убывающих замкнутых
подмножеств компакта, имеющая пустое пересечение. В такой после-
довательности все множества, начиная с некоторого, пустые. Но если
G
k
\
A
=
?
, то
G
k
A
.
Аналогичные рассуждения верны и для множеств
U
∞
и
V
∞
.
6. Неопределенная система Хенона.
Рассмотрим систему [11]
x
n
+1
=
a
+
by
n
−
x
2
n
,
y
n
+1
=
x
n
,
(6)
полагая, что значение
b
2
R
известно, а параметр
а
точно не определен
и может иметь произвольное значение на отрезке
[
a , a
]
, где
a < a
.
В данном случае
F
(
x, y, w
) =
w
+
by
−
x
2
x
, X
=
R
2
, W
= [
a , a
]
.
Локализация робастно положительно инвариантных компак-
тов.
В качестве локализирующей рассмотрим линейную функцию
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 3
13
