2. Робастно отрицательно инвариантные компакты.
Для систе-
мы (1) множество
M X
называется робастно отрицательно инва-
риантным или просто отрицательно инвариантным, если для любой
точки
x
2
M
любая возможная отрицательная полуорбита этой точки
целиком содержится в
M
, т.е. для любой точки
z
2
X
, удовлетво-
ряющей условию
F
(
z, w
) =
x
при некотором
w
2
W
, выполняется
условие
z
2
M
.
Для произвольного множества
G
введем обозначение
^
F
−
1
(
G
) =
[
w
2
W
F
−
1
w
(
G
)
,
где
F
−
1
w
(
G
)
— полный прообраз множества
G
при фиксированном зна-
чении
w
.
Условие отрицательной инвариантности можно сформулировать
следующим образом: множество
M X
отрицательно инвариантно
для системы (1) тогда и только тогда, когда
^
F
−
1
(
M
)
M.
Введем в рассмотрение множества
ˇΣ
+
ϕ
=
n
x
2
X
:
sup
z
2
^
F
−
1
(
x
)
ϕ
(
z
)
−
ϕ
(
x
)
≤
0
o
,
ˇΣ
−
ϕ
=
n
x
2
X
:
inf
z
2
^
F
−
1
(
x
)
ϕ
(
z
)
−
ϕ
(
x
)
≥
0
o
.
Для произвольного множества
Q X
положим
ϕ
l
inf
(
Q
) = inf
x
2
ˇΣ
−
ϕ
∩
Q
ϕ
(
x
)
, ϕ
l
sup
(
Q
) = sup
x
2
ˇΣ
+
ϕ
∩
Q
ϕ
(
x
)
.
Если
Q
=
X
, то вместо
ϕ
l
inf
(
Q
)
и
ϕ
l
sup
(
Q
)
будем использовать обозна-
чения
ϕ
l
inf
и
ϕ
l
sup
.
Теорема 2.
Любой отрицательно инвариантный компакт системы
(1)
, содержащийся в множестве
Q X
, содержится в множестве
Ω
l
ϕ
(
Q
) =
n
x
2
Q
:
ϕ
l
inf
(
Q
)
≤
ϕ
(
x
)
≤
ϕ
l
sup
(
Q
)
o
.
Доказательство.
Пусть
K Q
— отрицательно инвариантный
компакт. Тогда непрерывная функция
ϕ
достигает на
K
своего наи-
меньшего значения в точке
x
2
K
, а своего наибольшего значения в
точке
x
2
K
. Поскольку
K
— отрицательно инвариантное множество,
^
F
−
1
(
x
)
K
. Следовательно,
sup
z
2
^
F
−
1
(
x
)
ϕ
(
x
)
≤
sup
z
2
K
ϕ
(
x
) =
ϕ
(
x
)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 3
5
