Теорема 3.
Любой инвариантный компакт системы
(1)
, содержа-
щийся в множестве
Q X
, содержится в множестве
Ω
ϕ
(
Q
) =
n
x
2
X
:
ϕ
inf
(
Q
)
≤
ϕ
(
x
)
≤
ϕ
sup
(
Q
)
o
.
Доказательство.
Пусть
K Q
— инвариантный компакт. Функ-
ция
ϕ
достигает на этом компакте наибольшего значения в неко-
торой точке
x
2
K
. Тогда для любого значения
w
2
W
имеем
F
(
x , w
)
2
K
(в силу условия положительной инвариантности), от-
куда
ϕ
(
F
(
x , w
))
≤
ϕ
(
x
)
. Следовательно,
x
2
Σ
−
ϕ
. Кроме того, для
любой пары
z
2
X
и
w
2
W
, удовлетворяющей условию
F
(
z, w
) =
x
,
имеем
z
2
K
(в силу условия отрицательной инвариантности) и
ϕ
(
z
)
≤
ϕ
(
x
)
. Поэтому
x
2
ˇΣ
+
ϕ
. Отсюда вытекает, что для любой
точки
x
2
K
ϕ
(
x
)
≤
ϕ
(
x
)
≤
sup
x
2
Σ
−
ϕ
∩
ˇΣ
+
ϕ
∩
Q
ϕ
(
x
) =
ϕ
sup
(
Q
)
.
Аналогично доказывается неравенство
ϕ
(
x
)
≥
ϕ
inf
(
Q
)
,
x
2
K
. Оба
неравенства означают, что
K
Ω
ϕ
(
Q
)
.
4. Свойства локализирующих множеств.
Свойства локализиру-
ющих множеств для робастно инвариантных компактных множеств
дискретных систем с возмущениями во многом схожи со свойствами
локализирующих множеств для непрерывных и дискретных систем
без возмущений [6, 8, 9]. Установим основные свойства.
Свойство 1.
Пусть функция
ϕ
непрерывна на
X
и
ψ
(
x
) =
h
(
ϕ
(
x
))
,
x
2
X
, где
h
:
R
→
R
— строго монотонная функция. Тогда для
любого множества
Q X
имеем
Ω
r
ϕ
(
Q
) = Ω
r
ψ
(
Q
)
,
Ω
l
ϕ
(
Q
) = Ω
l
ψ
(
Q
)
,
Ω
ϕ
(
Q
) = Ω
ψ
(
Q
)
. В частности, это верно, если
h
(
t
) =
at
+
b
,
a
6
= 0
.
Доказательство.
Доказательства всех трех случаев утверждения
различаются незначительно. Поэтому ограничимся доказательством в
случае положительно инвариантных компактов.
Если функция
h
возрастающая, то неравенство
ψ
(
x
1
)
≤
ψ
(
x
2
)
экви-
валентно неравенству
ϕ
(
x
1
)
≤
ϕ
(
x
2
)
. Следовательно, эквивалентны
неравенства
sup
w
2
W
ψ
(
F
(
x, w
))
≤
ψ
(
x
)
и
sup
w
2
W
ϕ
(
F
(
x, w
))
≤
ϕ
(
x
)
.
Это означает, что множества
Σ
−
ϕ
и
Σ
−
ψ
совпадают. Поэтому
ψ
r
sup
(
Q
) = sup
x
2
Σ
−
ψ
∩
Q
ψ
(
x
) = sup
x
2
Σ
−
ϕ
∩
Q
h
(
ϕ
(
x
)) =
=
h
sup
x
2
Σ
−
ϕ
∩
Q
ϕ
(
x
) =
h ϕ
r
sup
(
Q
)
.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 3
7
