ϕ
(
x, y
) =
Dx
+
Ey
. Тогда
ϕ
(
F
(
x, y, w
)) =
D
(
w
+
by
−
x
2
) +
Ex
.
Множество
Σ
−
ϕ
описывается неравенством
sup
w
2
[
a , a
]
D
(
w
+
by
−
x
2
) +
Ex
−
Dx
−
Ey
≤
0
,
а множество
Σ
+
ϕ
— неравенством
inf
w
2
[
a , a
]
D
(
w
+
by
−
x
2
) +
Ex
−
Dx
−
Ey
≥
0
.
Обозначим
w
= sup
w
2
[
a , a
]
Dw, w
= inf
w
2
[
a , a
]
Dw.
При этих обозначениях для нахождения
ϕ
r
inf
и
ϕ
r
sup
получаем следую-
щие оптимизационные задачи:
(
Dx
+
Ey
→
sup
,
(
Db
−
E
)
y
≤
Dx
2
−
(
E
−
D
)
x
−
w
;
(7)
(
Dx
+
Ey
→
inf
,
(
Db
−
E
)
y
≥
Dx
2
−
(
E
−
D
)
x
−
w .
(8)
Задачи (7), (8) детально исследованы в [8]. При
D
= 0
они имеют
тривиальные решения
+
∞
и
−∞
. Поэтому можно считать, что
D
6
= 0
,
а согласно свойству 1 можно ограничиться случаем
D
=
−
1
. В этом
случае
w
=
−
a
,
w
=
−
a
, а задачи (7), (8) сводятся к следующим:
(
−
x
+
Ey
→
sup
,
x
2
+ (
E
+ 1)
x
−
(
b
+
E
)
y
−
a
≤
0;
(9)
(
−
x
+
Ey
→
inf
,
x
2
+ (
E
+ 1)
x
−
(
b
+
E
)
y
−
a
≥
0
.
(10)
Задача (10) имеет тривиальное решение
ϕ
r
inf
=
−∞
. Задача (9)
имеет тривиальное решение
ϕ
r
sup
= +
∞
при
E
≤ −
b
и при
E
≥
0
.
Остается случай
−
b < E <
0
, при котором
ϕ
r
sup
=
−
4
E
2
a
+ (
E
2
−
b
)
2
4
E
(
b
+
E
)
.
Итак, при
−
b < E <
0
имеем локализирующее множество
−
x
+
Ey
≤ −
4
E
2
a
+ (
E
2
−
b
)
2
4
E
(
b
+
E
)
.
(11)
Преобразуем неравенство (11):
x
≥
Ey
+
4
E
2
a
+ (
E
2
−
b
)
2
4
E
(
b
+
E
)
=
−
λy
−
4
λ
2
a
+ (
λ
2
−
b
)
2
4
λ
(
b
−
λ
)
,
14
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 3
