вод, что все множества
G
k
являются локализирующими для положи-
тельно инвариантных компактов, содержащихся в множестве
G
. Таким
образом, компакт
G
∞
— пересечение всех множеств
G
k
— содержит
все положительно инвариантные компакты, содержащиеся в
G
. Зна-
чит, это множество есть максимальный положительно инвариантный
компакт среди содержащихся в
G
. Теорема доказана.
Замечание 1.
Отметим, что согласно определению пустое множе-
ство является положительно инвариантным. Если для данного множе-
ства
G
соответствующее множество
G
∞
оказалось пустым, то утвер-
ждение теоремы следует трактовать как отсутствие в
G
положительно
инвариантных компактов рассматриваемой системы.
Любое множество
G X
в фазовом пространстве
X
системы (1)
порождает множества
U
0
=
G, U
k
=
U
k
−
1
∩
ˆ
F
(
G
k
−
1
)
, k
= 1
,
2
, . . . ,
(4)
и их пересечение
U
∞
=
∞
\
k
=0
U
k
.
Теорема 6.
Для любого множества
G X
соответствующее мно-
жество
U
∞
для системы
(1)
является отрицательно инвариантным.
Доказательство.
Пусть
x
2
U
∞
. Тогда для произвольного
k
≥
1
имеем
x
2
U
k
. Следовательно,
x
2
ˆ
F
(
U
k
−
1
)
. Последнее, согласно
определению множества
ˆ
F
(
U
k
−
1
)
, означает, что
^
F
−
1
(
x
)
U
k
−
1
. Таким
образом,
^
F
−
1
(
x
)
T
k
≥
1
U
k
−
1
=
U
∞
. Итак, из соотношения
x
2
U
∞
вытекает, что
^
F
−
1
(
x
)
U
∞
. В соответствии с определением приходим
к выводу, что
U
∞
— отрицательно инвариантное множество.
Теорема 7.
Если отображение
F
при любом фиксированном
w
2
W
является открытым, а множество
G
компактно, то соответству-
ющее множество
U
∞
— максимальный отрицательно инвариантный
компакт системы
(1)
среди содержащихся в
G
. В частности, если
G
содержит все отрицательно инвариантные компакты системы, то
U
∞
— максимальный отрицательно инвариантный компакт системы.
Доказательство.
Так как множество
U
0
=
G
компактно, то множе-
ство
ˆ
F
(
U
0
)
замкнуто. Действительно, в этом случае множество
X
\
U
0
открыто (в относительной топологии на
X
). Следовательно, при лю-
бом
w
2
W
множество
F
(
X
\
U
0
, w
)
открыто. Поэтому множество
F
(
X
\
U
0
)
×
W
=
[
w
2
W
F
(
X
\
U
0
, w
)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 3
11
