где
A
= [
β
0
−
β
1
(1 +
r
2
)]
2
−
Λ
2
r
4
−
4(1 +
r
2
)(
r
2
−
α
2
1
)
,
B
= 2[Λ
r
2
(
β
0
+
β
1
(1 +
r
2
))
−
2(1 +
r
2
)(
β
1
Λ
r
2
−
2
α
1
r
)]
.
Эти громоздкие формулы упрощаются в частных и предельных слу-
чаях.
При
r
1
(короткие волны) имеем асимптотику, считая
h
0
6
= 0
,
μ
±
6
= 0
:
a
1
,
2
Z
(
γ
−
1)
1 +
Z
5
/
2
|
h
0
|
5
r
7
λ
Σ
λ
±
1
ζR
±
;
(23)
b
1
,
2
1
2
Λ
±
Λ
R
−
Λ
R
Σ
−
4
R
λ
Σ
(
λ
−
1
+
R
−
1
+
−
λ
−
1
−
R
−
1
−
)
,
где
R
= (
λ
−
/
λ
+
)
R
−
1
+
+ (
λ
+
/
λ
−
)
R
−
1
−
,
R
Σ
=
R
−
1
+
+
R
−
1
−
,
R
=
= (
λ
−
/
λ
+
)
1
/
2
R
−
1
+
+ (
λ
+
/
λ
−
)
1
/
2
R
−
1
−
, причем верхние и нижние знаки
в (23) соответствуют друг другу.
При
r
1
(длинные волны) имеем асимптотику
a
−
r
2
ζ
2
A
3
/
2
0
[1 +
R
Σ
A
4
0
]
,
A
0
=
Z
(
γ
−
1)
Z
+ 1
T
0
+
Z
(
γ
−
1)
+
T
0
−
γ
−
1
+
|
h
0
|
2
+
|
u
0
|
2
,
b
±
r.
Формулы для
a
j
,
b
j
значительно упрощаются при
μ
±
= 0
и в
МГД-пределе [10].
Сравнение с линейной теорией.
Пусть
ρ
=
ρ
0
,
U
x
= 0
,
T
+
=
=
T
−
=
T
0
,
H
?
= 0
,
U
?
= 0
,
E
?
= 0
— константное решение системы
(4). Рассмотрим приближенное решение (4) вида
ρ
=
ρ
0
+
ρe
i
(
kx
−
ωt
)
, U
x
=
U
x
e
i
(
kx
−
ωt
)
, T
±
=
T
0
+
T
±
e
i
(
kx
−
ωt
)
;
H
?
=
H
?
e
i
(
kx
−
ωt
)
, U
?
=
U
?
e
i
(
kx
−
ωt
)
, E
?
=
E
?
e
i
(
kx
−
ωt
)
,
(24)
где постоянные комплексные величины
ρ
,
U
x
,
T
±
,
H
?
,
U
?
,
E
?
в пра-
вых частях (24) (комплексные амплитуды) считаются малыми. Под-
ставляя функции (24) в систему (4) и отбрасывая слагаемые выше
первого порядка малости по комплексным амплитудам, получим ли-
нейную систему уравнений для нахождения комплексных амплитуд и
дисперсионного соотношения между
ω
и
κ
. В итоге получим
ρ
= 0
, U
x
= 0
, T
±
= 0
(25)
(соотношения между
H
?
,
U
?
,
E
?
более сложные, мы их не приво-
дим), а комплексное
ω
находится по
κ
из квадратного дисперсионного
уравнения
80
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 4
