J
. Остальные собственные числа являются собственными числами
J
0
.
Прямое вычисление дает
det(J
0
−
λ
I
4
) =
=
1
(1 +
r
2
)
2
{
[(
β
1
−
λ
)(
β
0
−
λ
(1+
r
2
))+
r
2
−
α
2
1
]
2
+[(
β
1
−
λ
)Λ
r
2
−
2
α
1
r
]
2
}
,
где
I
4
— единичная матрица четвертого порядка. Поэтому для нахо-
ждения собственных чисел
J
0
имеем два квадратных уравнения:
λ
2
(1+
r
2
)
−
λ
[
β
0
+
β
1
(1+
r
2
)
±
i
Λ
r
2
]+
β
1
β
0
+
r
2
−
α
2
1
±
i
(
β
1
Λ
r
2
−
2
α
1
r
) = 0
.
(20)
Несложный анализ уравнения (20) показывает, что: а) каждое из урав-
нений (20) не имеет вещественных, сопряженных или кратных корней;
б) если
λ
1
6
=
λ
2
— корни (20) для верхнего знака, то
ˉ
λ
1
6
= ˉ
λ
2
— кор-
ни (20) для нижнего знака; в) все корни (20) имеют отрицательные
вещественные части; г) все собственные числа матрицы Якоби
J
од-
нократные и имеют вид
{
λ
0
, λ
1
, λ
2
,
ˉ
λ
1
,
ˉ
λ
2
}
и есть базис
C
5
, состоящий
из собственных векторов матрицы Якоби.
В частности, единственная особая точка системы (19) — притя-
гивающий устойчивый многомерный узел и по теореме Гробмана–
Хартмана [11] в некоторой окрестности особой точки топология инте-
гральных кривых системы (19) и ее линеаризации в особой точке со-
впадают. Таким образом, качественная картина релаксации правильно
описывается линеаризацией системы (19) в особой точке
(
T
0
,
0
,
0
,
0
,
0)
,
решения которой несложно получить в явном виде.
Рассмотрим линеаризованную систему
( ˙
T ,
˙
u
1
,
˙
u
2
,
˙
h
1
,
˙
h
2
) = J(
T, u
1
, u
2
, h
1
, h
2
)
,
(21)
где звездочка означает транспонирование, а точка — дифференцирова-
ние по
t
. Пусть
λ
1
6
=
λ
2
— корни характеристического уравнения (20)
для верхнего знака,
x
j
+
iy
j
6
= 0
— собственный вектор
J
, отвечаю-
щий значению
λ
j
,
j
= 1
,
2
. Тогда, как известно, линейная оболочка
V
j
= [
x
j
, y
j
]
является двумерным инвариантом подпространства
R
5
для оператора
J
, причем если
λ
j
=
a
j
+
ib
j
,
j
= 1
,
2
, то
J
x
j
=
a
j
x
j
−
b
j
y
j
,
J
y
j
=
a
j
y
j
+
b
j
x
j
, j
= 1
,
2
.
Если
x
0
= (1
,
0
,
0
,
0
,
0)
, то
V
0
= [
x
0
]
— собственное подпростран-
ство, отвечающее значению
λ
0
, а
R
5
распадается в прямую сумму
R
5
= V
0
V
1
V
2
. В частности,
{
x
0
, x
1
, y
1
, x
2
, y
2
}
— базис
R
5
, матри-
ца оператора
J
в котором равна
diag 1
,
a
1
b
1
−
b
1
a
1
,
a
2
b
2
−
b
2
a
2
.
78
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 4
