Поэтому если
(
z
0
, z
1
, z
2
, z
3
, z
4
)
— координаты вектора из
R
5
в базисе
{
x
0
, x
1
, y
1
, x
2
, y
2
}
, то линейная система (21) в этих координатах распа-
дается на три независимые подсистемы:
˙
z
0
=
λ
0
z
0
,
˙
z
1
=
a
1
z
1
+
b
1
z
2
˙
z
2
=
−
b
1
z
1
+
a
1
z
2
,
˙
z
3
=
a
2
z
3
+
b
2
z
4
˙
z
4
=
−
b
2
z
3
+
a
2
z
4
,
решение которых, очевидно, имеет вид:
z
0
(
t
) =
D
0
e
λ
0
t
,
(
z
1
(
t
)
, z
2
(
t
)) =
D
1
e
a
1
t
(cos(
ϕ
1
−
b
1
t
)
,
sin(
ϕ
1
−
b
1
t
))
(
z
3
(
t
)
, z
4
(
t
)) =
D
2
e
a
2
t
(cos(
ϕ
2
−
b
2
t
)
,
sin(
ϕ
2
−
b
2
t
))
,
(22)
где
D
0
,
D
1
,
D
2
,
ϕ
1
,
ϕ
2
— произвольные вещественные константы.
Выше отмечалось, что
λ
0
,
a
1
,
a
2
<
0
, поэтому из (22) следует, что
проекция любого решения линеаризованной системы (21) на двумер-
ную плоскость
V
j
,
j
= 1
,
2
, есть спираль, наматывающаяся на точку 0
с угловой скоростью
b
j
и декрементом убывания расстояния от начала
отсчета
|
a
j
|
. Из (22) следует разложение
(
u
(
t
)
, h
(
t
)) =
2
X
j
=1
D
j
e
a
j
t
(cos(
ϕ
j
−
b
j
t
)
x
j
+ sin(
ϕ
j
−
b
j
t
)
y
j
)
.
В частности, декременты экспоненциального стремления к 0 вели-
чин
u
(
t
)
,
h
(
t
)
равны
min
{|
a
1
|
,
|
a
2
|}
. Выпишем явные выражения для
x
j
,
y
j
,
a
j
,
b
j
. Положим
x
j
= 0
,
r
(
β
1
−
a
j
)
−
α
1
b
j
(
β
1
−
a
j
)
2
+
b
2
j
,
−
rb
j
+
α
1
(
β
1
−
a
j
)
(
β
1
−
a
j
)
2
+
b
2
j
,
0
,
1
,
y
j
= 0
,
rb
j
+
α
1
(
β
1
−
a
j
)
(
β
1
−
a
j
)
2
+
b
2
j
,
r
(
β
1
−
a
j
)
−
α
1
b
j
(
β
1
−
a
j
)
2
+
b
2
j
,
−
1
,
0
.
Тогда легко проверить, что
x
j
+
iy
j
— собственный вектор
J
для
собственного значения
λ
j
=
a
j
+
ib
j
,
j
= 1
,
2
, причем
x
j
?
y
j
и
k
x
j
k
=
k
y
j
k
= 1 +
α
2
1
+
r
2
(
β
1
−
a
j
)
2
+
b
2
j
1
/
2
. Решая квадратное урав-
нение (20) для верхнего знака и используя формулу для извлечения
квадратного корня из комплексного числа, получаем
a
1
,
2
=
1
2(1 +
r
2
)
β
0
+
β
1
(1 +
r
2
)
±
"
√
A
2
+
B
2
+
A
2
#
1
/
2
,
b
1
,
2
=
1
2(1 +
r
2
)
Λ
r
2
±
sgn
B
"
√
A
2
+
B
2
−
A
2
#
1
/
2
,
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 4
79
