3 / 16
нормальные напряжения
P
(1)
0
(
r
)
, а на нижнем — радиальные и нор-
мальные компоненты смещения
u
2
(
r
)
и
w
2
(
r
)
, а также равнодейству-
ющая действующих напряжений
P
(2)
0
.
Задача — определить контактные напряжения, действующие на
стыке полупространств и на нижнем берегу трещины, а также ко-
эффициенты интенсивности указанных напряжений.
Поставленную задачу математически можно сформулировать в ви-
де граничной задачи для уравнений Ламе при следующих граничных
условиях:
u
1
(
r,
0) =
u
2
(
r,
0)
, w
1
(
r,
0) =
w
2
(
r,
0)
, a < r <
∞
;
σ
(1)
z
(
r,
0) =
σ
(2)
z
(
r,
0)
, τ
(1)
rz
(
r,
0) =
τ
(2)
rz
(
r,
0)
, a < r <
∞
;
σ
(1)
z
(
r,
0) =
P
(1)
0
(
r
)
, τ
(1)
rz
(
r,
0) = 0
,
0
< r < a
;
u
2
(
r,
0) =
u
2
(
r
)
, w
2
(
r,
0) =
w
2
(
r
)
,
0
< r < a.
(1)
Здесь
w
j
(
r, z
)
,
u
j
(
r, z
)
,
σ
(
j
)
z
(
r, z
)
,
τ
(
j
)
rz
(
r, z
)
,
j
= 1
,
2
— нормальные и
радиальные компоненты смещений и напряжений в цилиндрической
системе координат верхнего и нижнего полупространств.
Для построения решения граничной задачи (1) рассмотрим вспо-
могательную граничную задачу, содержащую первые четыре условия
задачи (1) и условия
w
1
(
r,
0)
−
w
2
(
r,
0) =
w
(
r
)
, σ
(1)
z
(
r,
0)
−
σ
(2)
z
(
r,
0) =
σ
(
r
) ;
u
1
(
r,
0)
−
u
2
(
r,
0) =
u
(
r
)
, τ
(1)
rz
(
r,
0)
−
τ
(2)
rz
(
r,
0) =
τ
(
r
)
,
0
< r < a,
(2)
где
w
(
r
)
,
u
(
r
)
,
σ
(
r
)
,
τ
(
r
)
— неизвестные функции, описывающие
раскрытие трещины, относительное расхождение берегов трещины в
радиальном направлении и скачки компонент нормальных и танген-
циальных напряжений, действующих на берегах трещины.
Присвоим характерным величинам верхнего и нижнего полупро-
странств индексы 1 и 2 соответственно, а затем представим решения
уравнений Ламе, записанные в цилиндрической системе координат, в
виде интегралов
u
j
(
r, z
) =
=
∞
Z
0
h
B
j
+ (
−
1)
j
ϑ
j
3
B
j
+ (
−
1)
j
C
j
sz
i
e
(
−
1)
j
sz
sJ
1
(
rs
)
ds
;
(3)
w
j
(
r, z
) =
∞
Z
0
h
C
j
−
ϑ
j
3
B
j
+ (
−
1)
j
C
j
sz
i
e
(
−
1)
j
sz
sJ
0
(
rs
)
ds.
(4)
При этом компоненты напряжений будут выражены формулами
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 3
33