Background Image
Previous Page  4 / 19 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 4 / 19 Next Page
Page Background

где

c

2

=

ω

2

/

(

N

2

ω

2

)

;

N

2

(

z

) =

g

ρ

0

∂ρ

0

∂z

— частота Брента – Вяйсяля,

которая предполагается постоянной,

N

(

z

) =

N

=

const. В приближе-

нии Буссинеска система (3) сводится к одному уравнению, например,

для возмущенного давления

p

с соответствующими граничными усло-

виями

2

p

∂z

2

1

c

2

2

p

∂y

2

+

2

p

∂x

2

=

iωQρ

0

δ

(

x

x

0

)

δ

(

y

y

0

)

δ

(

z

z

0

)

c

2

;

(4)

∂p

∂z

= 0

при

z

= 0

,

∂p

∂z

γ

c

2

∂p

∂y

= 0

при

z

=

γy.

(5)

Под значением

ρ

0

в правой части условия (4) в силу относитель-

но малого изменения плотности

ρ

0

(

z

)

в океане понимается, на-

пример, значение плотности морской воды на поверхности, т.е.

ρ

0

=

ρ

0

(0) =

const. Решение

p

(

x, y, z

)

должно стремиться к ну-

лю при

p

x

2

+

y

2

+

z

2

→ ∞

. После нахождения функции

p

(

x, y, z

)

компоненты скорости

(

U

1

, U

2

, W

)

можно определить из первых трех

уравнений системы (3), а плотность

ρ

— из пятого уравнения этой

системы.

Интегральные представления решений.

Выполним замену пе-

ременных

y

=

r

ch

ϕ, z

=

cr

sh

ϕ

;

r

=

p

y

2

z

2

/c

2

;

ϕ

=

1

2

ln

cy

z

cy

+

z

.

(6)

Осуществим преобразование Фурье по переменной

x

(не умаляя

общности можно принять

x

0

= 0

). Учитывая, что модуль якобиана

перехода от координат

(

y, z

)

к координатам

(

r, ϕ

)

равен

cr

, из (4), (5)

получаем для фурье-образа

P

(

r, ϕ, l

)

функции

p

(

r, ϕ, x

)

следующую

плоскую краевую задачу:

2

P

∂r

2

+

∂P

r∂r

1

r

2

2

P

∂ϕ

2

l

2

P

=

q

r

δ

(

r

r

0

)

δ

(

ϕ

ϕ

0

);

(7)

∂P

∂ϕ

= 0

при

ϕ

= 0

,

∂P

∂ϕ

= 0

при

ϕ

=

ϕ

r

;

(8)

r

0

=

q

y

2

0

z

2

0

/c

2

, ϕ

0

=

1

2

ln

cy

0

z

0

cy

0

+

z

0

, ϕ

r

=

1

2

ln

c

+

γ

c

γ

, q

=

iωQρ

0

c

.

(9)

Решение трехмерной краевой задачи (4), (5) в переменных

(

r, ϕ, x

)

получается из решения плоской задачи (7), (8) с помощью обратного

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 3

61