Background Image
Previous Page  5 / 19 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 5 / 19 Next Page
Page Background

преобразования Фурье

p

(

r, ϕ, x

) =

1

2

π

+

Z

−∞

P

(

r, ϕ, l

) exp(

ilx

)

dl.

(10)

Далее предположим, что

γ < c

, или, используя терминологию, введен-

ную в работах [2, 5, 6], полагаем наклон дна докритическим (крити-

ческий наклон

γ

= ˜

n

). Однородное уравнение (7) с нулевой правой

частью имеет убывающие на бесконечности действительные решения

P

(

r, ϕ, l

) =

K

(

lr

) cos(

μϕ

)

, где

μ

— любое действительное число;

K

(

lr

)

— функция МакДональда мнимого индекса, удовлетворяющая

параметрическому модифицированному уравнению Бесселя

LK

(

lr

) = 0;

L

=

r

2

2

∂r

2

+

r

r∂r

+ (

μ

2

r

2

l

2

)

.

Отметим, что функция

K

(

lr

)

вещественна, если значения

μ

веще-

ственны и аргумент

lr

положителен. Исходя из этого, для представле-

ния дельта-функции

δ

(

r

r

0

)

воспользуемся парой прямого и обрат-

ного преобразования Канторовича – Лебедева:

F

(

μ

) =

+

Z

0

K

(

x

)

f

(

x

)

x

dx

;

f

(

x

) =

2

π

2

+

Z

0

sh(

πμ

)

K

(

x

)

F

(

μ

)

μdμ.

Откуда можно получить разложение для дельта-функции (условие пол-

ноты)

δ

(

r

r

0

) =

2

2

+

Z

0

sh(

πμ

)

K

(

lr

)

K

(

lr

0

)

μdμ.

(11)

Решение задачи (7) будем искать в виде

P

(

r, ϕ, l

) =

2

q

π

2

+

Z

0

sh(

πμ

)

K

(

lr

)

K

(

lr

0

) Φ

μ

(

ϕ

)

μdμ

(12)

с неизвестной функцией угловой переменной

Φ

μ

(

ϕ

)

. Подстановка (11)

и (12) в (7) приводит к следующей краевой задаче для определения

этой функции:

d

2

Φ

μ

(

ϕ

)

2

+

μ

2

Φ

μ

(

ϕ

) =

δ

(

r

r

0

);

d

Φ

μ

(0)

=

d

Φ

μ

(

ϕ

r

)

= 0

.

(13)

62

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 3