Background Image
Previous Page  7 / 19 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 7 / 19 Next Page
Page Background

При

r < r

0

представим в виде (16) функцию

K

(

lr

)

и, замыкая

контур интегрирования в нижнюю полуплоскость, получаем выраже-

ние (18), в котором необходимо поменять местами величины

r

и

r

0

.

Полученные выражения можно объединить в одно, если обозначить

r

= min(

r, r

0

)

,

r

+

= max(

r, r

0

)

:

P

n

(

r, ϕ, l

) =

2

q

cos(

ϕμ

n

) cos(

ϕ

0

μ

n

)

ϕ

r

Re

(

K

n

(

lr

+

)

I

n

(

lr

))

.

(19)

Аналогично при

n

= 0

определяем

P

0

(

r, ϕ, l

) =

q

ϕ

r

Re

(

K

0

(

lr

+

)

I

0

(

lr

))

.

(20)

Проведем обратное преобразование Фурье (10) для

n

-й моды

(

n

0

) и учтем, что установившаяся стоячая волна — четная функция

переменной

x

, в результате получим

p

n

(

r, ϕ, x

) =

1

π

+

Z

−∞

P

n

(

r, ϕ, l

) cos(

lx

)

dl.

Этот интеграл выражается через гипергеометрическую функцию

p

n

(

r, ϕ, x

) =

q ε

n

cos(

ϕμ

n

) cos(

ϕ

0

μ

n

)

πr r

0

ϕ

r

Re

Z

;

(21)

Z

=

Γ(

i μ

n

+1

/

2)

Γ(

i μ

n

+1)

(

τ/

2)

i μ

n

+1

/

2

F

n

+ 1

/

2

2

,

n

+ 3

/

2

2

, i μ

n

+1

, τ

2

.

Здесь

Γ(

z

)

— гамма-функция;

F

(

α, β, γ, z

)

— гипергеометрическая

функция;

τ

= 2

rr

0

/

(

r

2

+

r

2

0

+

x

2

)

,

ε

n

= 1

/

2

при

n

= 0

и

ε

n

= 1

при

n

1

. Полное решение получается суммированием всех мод

p

(

r, ϕ, x

) =

X

n

=0

p

n

(

r, ϕ, x

)

, где

r

и

ϕ

— величины, определяемые по (6),

r

0

,

ϕ

0

,

ϕ

r

— по (9). Отметим, что полю вдали от источника возму-

щений, т.е. большим значениям

r

и

x

, соответствуют малые значения

τ

, и отдельную моду

p

n

(

r, ϕ, x

)

можно аппроксимировать с помощью

разложения гипергеометрической функции в ряд при

0

z <

1

:

F

(

α, β, γ, z

) = 1 +

αβ

γ

z

+

α

(

α

+ 1)

β

(

β

+ 1)

γ

(

γ

+ 1)2!

z

2

+

. . . ,

(22)

где

α

=

i μ

n

+1

/

2

2

;

β

=

i μ

n

+3

/

2

2

;

γ

=

i μ

n

+1

. Однако при фик-

сированном значении

z

с увеличением номера моды

n

в разложении

(22) приходится брать все большее число членов ряда (число членов

m

μ

n

z

), что затрудняет расчет волновых мод с большими номера-

ми. Имея в виду дальнейшее суммирование ряда (22), воспользуемся

64

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 3