Background Image
Previous Page  6 / 19 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 6 / 19 Next Page
Page Background

В соответствии с (13) функция

Φ

μ

(

ϕ

)

является угловой функцией

Грина

Φ

μ

(

ϕ

) =

1

μ

2

ϕ

r

2

ϕ

r

X

n

=1

cos(

ϕμ

n

) cos(

ϕ

0

μ

n

)

μ

2

μ

2

n

,

(14)

μ

n

=

2

πn

ln

c

+

γ

c

γ

, n

1

.

Точное решение и асимптотика отдельной волновой моды.

Рас-

смотрим в выражении (12) отдельную волновую моду (

n

1

)

P

n

(

r, ϕ, l

) =

=

4

q

cos(

ϕμ

n

) cos(

ϕ

0

μ

n

)

ϕ

r

π

2

+

Z

0

sh(

πμ

)

K

(

lr

)

K

(

lr

0

)

μdμ

μ

2

μ

2

n

.

(15)

Здесь интеграл понимается в смысле главного значения. Формула

(15) пригодна и для случая

n

= 0

, если принять

μ

0

= 0

, а коэф-

фициент перед интегралом уменьшить в 2 раза. Рассмотрим сна-

чала случай

r > r

0

. В целях деформирования контура интегриро-

вания по величине

μ

в выражении (15) воспользуемся формулой

K

ν

(

t

) =

π

(

I

ν

(

t

)

I

ν

(

t

))

/

(2 sin(

πμ

))

, которая при

ν

=

для функции

K

(

lr

0

)

приобретает вид

K

(

lr

0

) =

π

Im

(

I

(

lr

0

))

sh(

πμ

)

,

(16)

так как функции

I

(

x

)

и

I

(

x

)

являются комплексно-сопряженными.

Подынтегральная функция в (15) четная по величине

μ

, поэтому с по-

мощью соотношения (16) можно получить

P

n

(

r, ϕ, l

) =

2

q

cos(

ϕμ

n

) cos(

ϕ

0

μ

n

)

πϕ

r

Im

+

Z

−∞

K

(

lr

)

I

(

lr

0

)

μdμ

μ

2

μ

2

n

.

(17)

Теперь контур интегрирования в (17) можно замкнуть в нижнюю

полуплоскость. Чтобы убедиться в этом, используем асимптотики

K

(

x

)

и

I

(

x

)

при

μ

=

,

ν

→ ∞

:

K

ν

(

lr

)

p

π/

2

ν

(2

ν/elr

)

ν

;

I

ν

(

lr

0

)

p

π/

2

ν

(2

ν/er

0

l

)

ν

/

(2

2)

. Тогда можно получить

K

ν

(

lr

)

I

ν

(

lr

0

)

π

exp(

ν

(ln

r

ln

r

0

))

/

(4

ν

2)

. Откуда видно, что

подынтегральное выражение экспоненциально мало в нижней по-

луплоскости при

r > r

0

. Тогда, учитывая вычеты в точках

μ

=

±

μ

n

,

имеем

P

n

(

r, ϕ, l

) =

2

q

cos(

ϕμ

n

) cos(

ϕ

0

μ

n

)

ϕ

r

Re

(

K

n

(

lr

)

I

n

(

lr

0

))

.

(18)

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 3

63