9 / 21
σ
33
=
−
κ
2
ξ
Z
−
0
,
5
(
< σ
(1)
3
J,J
>
−
σ
(1)
3
J,J
)
dξ
+
+
κ
3
(
−
p
−
−
Δ
p
(
ξ
+ 0
,
5) +
ξ
Z
−
0
,
5
(
< σ
(2)
3
J,J
>
−
σ
(2)
3
J,J
)
dξ
);
(22)
σ
I
3
=
κσ
(1)
I
3
+
κ
2
ξ
Z
−
0
,
5
(
< σ
(1)
IJ,J
>
−
σ
(1)
IJ,J
)
dξ.
Входящие в выражения (22) напряжения
σ
(1)
I
3
,
σ
(1)
IJ
и
σ
(2)
I
3
вычисляются
по формулам (для моноклинных материалов):
σ
(0)
IJ
=
C
(0)
IJKL
ε
(0)
KL
;
σ
(1)
IJ
=
ξC
(0)
IJKL
η
KL
;
σ
(1)
I
3
=
ε
(0)
KL,J
ξ
Z
−
0
,
5
(
< C
(0)
IJKL
>
−
C
(0)
IJKL
)
dξ
;
σ
(1)
33
= 0;
σ
(2)
I
3
=
η
KL,J
ξ
Z
−
0
,
5
(
<
˜
ξC
(0)
IJKL
>
−
˜
ξC
(0)
IJKL
)
d
˜
ξ.
(23)
Все соотношения (23) содержат только один набор неизвестных
функций — деформации
ε
(0)
KL
и компоненты тензора искривлений
η
KL
—
эти величины полностью вычисляются после решения осредненных
уравнений теории пластин (20). Таким образом, асимптотическая те-
ория тонких пластин позволяет найти все шесть компонент тензора
напряжений. Важным ее результатом является то, что для моноклин-
ных материалов она приводит (т.е. математически обосновывает) к
классическим осредненным уравнениям теории тонких пластин Кирх-
гофа – Лява.
Вывод вариационного уравнения для асимптотической теории
пластин.
Рассмотрим общее вариационное уравнение трехмерной за-
дачи линейной теории упругости (2), которое может быть записано в
следующем виде [20]:
Z
V
σ
ij
(
ε
kl
(u))
δε
ij
(u)
dV
=
Z
Σ
σ
˜
S
ei
δu
i
d
Σ
,
(24)
где
Σ
σ
= Σ
3
±
∪
Σ
σ
T
— часть поверхности пластины, на которой задан
вектор напряжений
˜
S
ei
и давление
˜
p
±
. Запись
σ
ij
(
ε
kl
(u))
означает, что
тензор напряжений может быть представлен как функция тензора де-
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 4
75