Вариационные уравнения асимптотической теории многослойных тонких пластин

Keywords

multilayer thin plates, asymptotic plate theory, asymptotic averaging

method, asymptotic expansions, Lagrange variational principle, Hellinger – Reissner

principle, Hermann principle.

Введение.

В настоящее время расчет инженерных тонкостен-

ных конструкций, несмотря на появление мощных вычислительных

средств, позволяющих решать сложные задачи теории упругости в

трехмерной постановке, осуществляется все же, в основном, с помо-

щью методов двумерных теорий пластин и оболочек. Это связано с

тем, что указанными методами удается значительно снизить требова-

ния к характеристикам вычислительной техники, главным образом, к

оперативной памяти ЭВМ. Поэтому интерес к модификации классиче-

ских теорий пластин и оболочек, в целях повышения точности расчета

напряженно-деформированного состояния тонких тел, приблизив их

к расчетам по трехмерной теории упругости, продолжает оставать-

ся весьма большим [1–3]. Принципиально новый подход к теории

тонких пластин, основанный на асимптотическом анализе трехмер-

ных уравнений теории упругости, без принятия каких-либо гипотез

относительно характера перемещений, деформаций и напряжений

по толщине пластин был предложен в работах [4–19]. В результате

применения этот подхода в работах [10, 13] были разработаны асим-

птотические теории упругих, термоупругих [11], нелинейно-упругих

[18], вязкоупругих [14–17] многослойных и композитных пластин,

а также двояко-периодических тонких пластин (гофрированных, со-

товых, сетчатых конструкций) [12]. Сравнение результатов расчета

напряженно-деформированного состояния пластин при изгибе с ис-

пользованием трехмерной теории упругости и разработанной асим-

птотической теории пластин проведено в работах [11, 19]. Сравнение

показало следующее: асимптотическая теория обеспечивает очень вы-

сокую точность расчетов, которую трехмерная теория упругости мо-

жет дать только при использовании очень мелких конечно-элементных

сеток, что при практических приложениях представляет собой зна-

чительную проблему. Цель настоящей статьи — вывод вариационных

уравнений асимптотической теории пластин, основанных, как и сама

теория, на строгом асимптотическом анализе вариационных урав-

нений трехмерной теории упругости. Эти вариационные уравнения

являются теоретической основой для разработки метода конечного

элемента для решения задач асимптотической теории пластин. Кроме

того, еще одна цель работы — точное математическое обоснование

классической теории пластин Кирхгофа – Лява.

Основные допущения асимптотической теории пластин.

Рас-

смотрим многослойную пластину постоянной толщины, введем малый

параметр

h/L

как отношение общей толщины пластины

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 4