6 / 21
(
C
ijkl
)=
C
1111
C
1122
C
1133
0
0
√
2
C
1112
C
2222
C
2233
0
0
√
2
C
2212
C
3333
0
0
√
2
C
3312
2
C
2323
√
2
C
2313
0
симметрия
2
C
1313
0
2
C
1212
.
(12)
Для моноклинных материалов ненулевыми являются только 13
констант, указанных в выражении (12), поэтому для них тензор
Z
IKL
=
C
−
1
I
3
j
3
C
j
3
KL
имеет только нулевые компоненты и, следова-
тельно, компоненты тензора третьего ранга
U
IKL
(
ξ
)
все нулевые.
Ненулевой является матрица
U
3
KL
(
ξ
)
:
U
IKL
(
ξ
) = 0
, U
3
KL
(
ξ
) =
<
ξ
Z
−
0
,
5
C
33
KL
C
3333
dξ >
−
ξ
Z
−
0
,
5
C
33
KL
C
3333
dξ.
(13)
Подставляя (13) в (9), получаем, что для моноклинных материалов
продольные перемещения
u
I
линейно зависят от поперечной коорди-
наты
ξ
, как и в классических теориях Тимошенко и Кирхгофа – Лява
[23–25]:
u
I
=
u
(0)
I
−
κξu
(0)
3
,I
.
(14)
Однако этот факт не является допущением, как это обычно принято в
классических теориях пластин, а представляет собой итог асимптоти-
ческих разложений уравнений общей трехмерной теории упругости,
т.е. строгим математически доказательным результатом. Для немоно-
клинных материалов линейного закона распределения продольных пе-
ремещений уже может не быть.
В отличие от классических теорий Тимошенко и Кирхгофа – Лява
поперечное перемещение
u
3
пластины, в соответствии с формулой (9),
зависит от поперечной координаты
ξ
.
Осредненные уравнения равновесия многослойных пластин.
Для вычисления перемещений нулевого приближения
u
(0)
k
согласно
разработанному методу [10, 11] получаем осредненные уравнения рав-
новесия тонких пластин
T
IJ,J
= 0
, Q
J,J
= Δˉ
p, M
IJ,J
−
Q
I
= 0
,
(15)
которые по форме совпадают с традиционными уравнениями теории
тонких пластин, где
T
IJ
— усилия;
M
IJ
— моменты;
Q
I
— перерезыва-
ющие силы;
Δˉ
p
=
κ
2
Δ
p
,
Δ
p
=
p
+
−
p
−
.
В разработанной теории усилия
T
IJ
, моменты
M
IJ
и перерезываю-
щие силы
Q
I
в пластине вводятся с помощью следующих осредненных
72
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 4