8 / 21
которые зависят от трех функций
u
(0)
I
,
u
(0)
3
глобальных переменных
x
I
. Как было отмечено выше, для моноклинных материалов тензо-
ры третьего ранга
Z
IKL
=
C
−
1
I
3
j
3
C
j
3
KL
и
U
KMN
имеют только нуле-
вые компоненты, следовательно, для этих материалов обращаются в
ноль тензоры
Φ
IJKLM
= 0
,
N
(0)
IJKLM
= 0
,
˜
N
(0)
IJKLM
= 0
,
ˉ
K
IJKLM
= 0
,
K
IJKLM
= 0
, и определяющие соотношения (17) принимают “класси-
ческий” вид, как в теориях Тимошенко и Кирхгофа – Лява:
T
IJ
= ˉ
C
IJKL
ε
(0)
KL
+
B
IJKL
η
KL
;
M
IJ
=
B
IJKL
ε
(0)
KL
+
D
IJKL
η
KL
;
Q
I
=
κ
2
< σ
(2)
I
3
> .
(19)
Подставляя выражения (18) в (19), а затем в (15), запишем систему
осредненных уравнений равновесия пластины относительно трех не-
известных функций
u
(0)
I
,
u
(0)
3
:
ˉ
C
IJKL
u
(0)
K,LJ
+
B
IJKL
u
(0)
3
,KLJ
= 0;
B
IJKL
u
(0)
K,LJI
+
D
IJKL
u
(0)
3
,KLJI
= Δˉ
p.
(20)
Система имеет четвертый порядок относительно прогиба
u
(0)
3
и
третий порядок производных относительно продольных перемещений
u
(0)
I
, как в классической теории пластин Кирхгофа – Лява.
Напряжения в пластине.
После решения осредненной систе-
мы (20) и нахождения функций
u
(0)
I
,
u
(0)
3
, вычисляем деформации
(10), а затем напряжения по формуле
σ
(0)
IJ
=
C
(0)
IJKL
ε
(0)
KL
. Сдвиговые
напряжения
σ
(0)
I
3
и поперечное напряжение
σ
(0)
33
, как было устано-
влено в работах [10, 11], в пластине тождественно равны нулю,
поэтому для моноклинных материалов равны нулю и деформации
ε
(0)
I
3
=
−
C
−
1
I
3
i
3
C
i
3
KL
ε
(0)
KL
= 0
:
σ
(0)
i
3
= 0
, ε
(0)
I
3
= 0
.
(21)
Ненулевые значения сдвиговых напряжений появляются у следующего
члена асимптотического разложения
σ
(1)
I
3
. Для поперечного напряже-
ния первое в асимптотическом ряду ненулевое значение — это значение
σ
(2)
33
. В результате, сохраняя в асимптотическом разложении (7) только
главные ненулевые члены и отбрасывая члены более высокого поряд-
ка малости, получаем выражения для всех шести компонент тензора
напряжений:
σ
IJ
=
σ
(0)
IJ
;
74
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 4